Matrices

Bonjour, dans ce chapitre, nous allons étudier les matrices.
Ne prenez pas peur, cette notion peut être effrayante, mais vous verrez que les bases ne sont pas très compliquées.

L’utilisation des notions de matrices est très importante en physique, pour simplifier par exemple, des calculs d’algèbre linéaire, ou lors d’études de tenseurs (très utilisés en relativité générale) et en mécanique quantique.

Tout d’abord, parlons de leur origine et de leur première utilisation historique. En réalité, le calcul matriciel n’est pas si ancien, il est apparu avant le XIX ème siècle, mais des traces d’utilisation de tableaux de nombres pour résoudre des équations linéaires sont très vieilles, deux siècles avant JC, et des textes chinois faisant référence à ces notions furent retrouvés.
Depuis le XVI ème siècle, la définition de matrice n’a cessé de changer et d’évoluer, jusqu’à Arthur Cayley, qui généralisa la notion à de nombreuses applications linéaires, vint ensuite Cauchy, et Hamilton qui peaufinèrent ces formalismes pour les rendre tels que nous les connaissons aujourd’hui.

Werner Heisenberg lui aussi fût un fervent utilisateur des matrices, qui étaient au XXème siècle, un concept presque inconnu chez les physiciens. Il découvrit la puissance de leur utilisation en physique théorique, et s’en servit avec brio pour élaborer sa théorie de la mécanique matricielle, et son principe d’incertitude.

Voici comment nous allons présenter ce chapitre :

Première partie :

• Définition, propriétés, opérations simples sur les matrices.
• Produits matriciels, matrice identité et symbole de Kronecker.
• Puissance d’une matrice.
• Matrices inverses.
• Binôme de Newton pour les matrices.
• Matrices élémentaires.
• Transposition d’une matrice.
• Matrice échelonnée et matrice échelonnée réduite.
• Matrices triangulaires et diagonales.
• Trace d’une matrice.
• Matrices symétriques et antisymétriques.

Deuxième partie (nécessitant d’avoir vu le chapitre sur les systèmes linéaires et la première partie du chapitre espaces vectoriels) :

• Rang d’une matrice et rang d’une famille de vecteurs.
• Matrices augmentées.
• Matrices d’applications linéaires.
• Opérations sur les applications linéaires et les matrices et propriétés sur les différents morphismes.
• Déterminant et matrice de Vandermonde.
• Vecteurs propres et valeurs propres.
• Changement de base et matrice de passage.
• Trace d’une matrice (compléments).
• Matrices idempotentes et nilpotentes.
• Diagonalisation.

Troisième partie (Nécessitant d’avoir vu la seconde partie du chapitre espace vectoriels) :

• Matrices congruentes.
• Matrices complexes.
• Matrices hermitiennes.
• Matrices orthogonales.
• Matrices unitaires.
• Matrices normales.
• Matrices symétriques et antisymétriques (Compléments).