Nombres complexes

Bonjour, ici, nous allons aborder un chapitre très important, les nombres complexes. A première vue, c’est un concept un peu abstrait pour une majorité de gens, et qui peut faire peur, mais en réalité, nous verrons qu’il est possible de rendre le côté abstrait beaucoup plus concret.

Avant de commencer à lire, nous vous conseillons fortement, si vous n’avez pas suivit l’ordre de lecture de notre site, de consulter les chapitres précédents (Vecteurs et géométrie, fonctions trigonométriques, dérivation, intégration ainsi que les limites) pour faciliter la compréhension des notions que nous aborderons ici.

Nous commencerons par expliquer ce que sont les nombres complexes, nous verrons pourquoi ils ont été introduits en mathématiques, et dans quels domaines de la physique ils sont le plus utilisés. Nous verrons ensuite quelles sont leurs propriétés, comment les représenter graphiquement, et nous étudierons la partie imaginaire des nombres complexes. En dernière partie, nous verrons les formes trigonométriques et polaires des nombres complexes, la formule d’Euler et nous détaillerons toutes ces notions très importantes.

Voici comment ce chapitre sera présenté :

Origine des nombres complexes, que sont ils ?
Propriétés algébriques des nombres complexes.
Propriétés trigonométriques et exponentielles.
Formule d’Euler
Formule de Moivre
Racines n-ièmes.
Équation complexe de droites et de cercles.

Compléments :

Théorème de l’angle au centre.
Nombres complexes et transformations géométriques.

Que sont les nombres complexes ? Pourquoi existent t-ils ?

Les nombres complexe sont une extension du corps des nombres réels, qui permettent de résoudre des équations et donne des solutions à des problèmes qui n’auraient pas de solutions dans le corps des nombres réels. C’est à dire ? Prenez l’équation x² = -1 par exemple, quelles sont ses solutions dans R ? On sait que dans les réels, la racine d’un nombre négatif n’existe pas, car la fonction racine carrée n’est définie que sur [0;+∞[. En effet, x ne peut pas être égal à √-1, alors, qu’est ce que les mathématiciens décidèrent de faire ? Ils décidèrent, de définir la valeur x, comme étant la lettre « i », et que la valeur de cette lettre i, répondrait à cette affirmation : i² = -1, mais, pourquoi ? Cela change t’il quelque chose ? Cela change tout, en définissant le résultat du carré d’un nombre comme étant négatif, on ouvre de toutes nouvelles perspectives, et définissons un nouveau plan, le plan complexe.

Les nombres complexes sont très utilisés en physique, et particulièrement en électromagnétisme, dans le cadre de l’étude des phénomènes ondulatoires et des circuits électriques, mais également en mécanique, pour les oscillateurs dans un système ou les forces de frottement sont présentes, et en mécanique quantique, pour l’analyse d’états de systèmes et de combinaison de ces derniers. Autrement dit, il s’agit d’un chapitre essentiel en physique, et qui doit être compris et même maîtrisé.

Propriétés algébriques des nombres complexes :

Donc, nous définissons « i », comme étant ce que l’on appelle, le nombre imaginaire, et nous disons que son carré vaut -1, de cette manière i² = -1. Le carré de (-i) est aussi égal à -1 tel que (-i)² = -1.

On peut écrire tout nombre complexe de cette forme : a + ib ou a et b sont des nombres réels.

On peut munir l’ensemble des nombres complexes d’une addition et d’une multiplication, ce qui en fait un corps commutatif (si vous ne connaissez pas la signification de la commutativité, nous vous recommandons de vous rendre sur la page consacrée aux compositions de fonctions), que nous notons ℂ, et qui est le corps des complexes.

Une propriété intéressante concerne la valeur absolue des réels, qui s’applique également aux complexes et est même étendue à ces derniers pour s’appeler « module ». Le module est en quelque sorte similaire à la norme d’un vecteur, et mesure la taille d’un nombre complexe, la longueur de ce dernier par rapport à l’origine, par exemple, on note le module d’un nombre complexe |z|, et la valeur de sa norme est :
$|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.$

Il s’avère que le module d’un nombre réel est simplement sa valeur absolue. L’interprétation du module comme une distance conduit irrémédiablement à l’inégalité triangulaire suivante : $|z+z'|\leq |z|+|z'|$ .

Un nombre complexe est noté z, et se présente sous la forme a + ib. Les parties réelles sont a et b, et s’écrivent Re(z) et i est l’imaginaire, qui s’écrit Im(z). Deux nombres sont égaux si et seulement si ils ont la même partie réelle ou la même partie imaginaire.

Lorsque la partie réelle est nulle, on dit que le nombre est un imaginaire pur, et dans ce cas, on le note z = ib. Si la partie nulle est la partie imaginaire, alors le nombre est simplement un réel. Le seul nombre qui soit à la fois réel et imaginaire pur est 0.

L’addition de nombres complexes se définit de la manière suivante :
$(a+{\rm {i}}b)+(c+{\rm {i}}d)=(a+c)+{\rm {i}}(b+d)~;$ .
Cette opération est associative, commutative, possède un élément neutre (le complexe nul) et tout complexe possède son opposé. opposé de (a + ib) = -a +i (-b).

L’opération définie par la multiplication dans les complexes est également commutative, associative, distributive, et contient un élément neutre 1. Elle s’écrit de la manière suivante : $(a+{\rm {i}}b)(c+{\rm {i}}d)=(ac-bd)+{\rm {i}}(ad+bc).$

Puisque que r × i = i × r, un complexe est noté indifféremment a + bi ou a +ib. Ces propriétés permettent d’obtenir l’égalité qui suit :
$(a+{\rm {i}}b)(a-{\rm {i}}b)=a^{2}+b^{2}.$
Ainsi, et puisque la somme de deux carrés de nombres réels est un réel strictement positif (sauf si a ou b = 0 bien sur).

Vous me direz, tout cela est bien beau, assez intuitif, mais qu’en est il de la représentation graphique du plan complexe, que nous avons abordé plus haut ? Avec ce dont nous avons discuté, il est possible, intuitivement, d’essayer d’imaginer ce plan. Malgré tout, représentons le à travers un schéma, et expliquons ensuite les quelques subtilités qui pourrait y apparaître :

Voici à quoi ressemble le plan complexe. Que pouvons nous dire ? Nous pouvons remarquer que certaines notions ont été abordées, par exemple, nous pouvons voir que Re, placé sur l’axe des x, représente la dimension des réels, et Im, sur l’axe des y, celle des imaginaires. Nous voyons également l’équation z = x + iy, qui projette en fait simplement un point et renvoie une valeur en fonction de x(réels) et y(imaginaires). En revanche, que représentent φ (phi) et la lettre r sur ce plan ? En fait, c’est très simple, φ est la valeur de l’angle formé par le nombre complexe par rapport à l’origine, qui est appelé « argument de z » et r n’est rien d’autre que le module (longueur) du nombre complexe lui même, qu’on note |z|. Voici un autre schéma qui peut vous aider à mieux vous représenter graphiquement ce que nous venons de dire :

Conjugué d’un nombre complexe :

Imaginez que nous vous donnions un nombre complexe avec une partie réel positive, mais une partie imaginaire négative, comment feriez vous ? On ne peut pas utiliser les mêmes notations, de risque de les confondre et de ne plus savoir de quel nombre complexe on parle, alors, une notation fût mise en place, qu’on appelle le conjugué d’un nombre complexe et qui se note ${\bar {z}}$

Prenons quelques exemples de conjugués et d’opérations possibles entre les conjugués de deux nombres complexes. Tout d’abord, on définit deux nombres complexes $(z,w)\in \mathbb {C} ^{2}$ .

$\overline {z+w}={\bar z}+{\bar w}$
$\overline {zw}={\bar z}\times {\bar w}$
$\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}={\frac {{\bar z}}{{\bar w}}}$ si $w$ est non nul
$\operatorname {Im}\left(z\right)=0$ si et seulement si ${\bar z}=z$
$\left|{\bar z}\right|=\left|z\right|$
$z\overline {z}=\left|z\right|^{2}$
$z^{{-1}}={\overline {z} \over {\left|z\right|^{2}}}$ pour $z$ non nul.
$\operatorname {Re} \,(z)={\tfrac {1}{2}}(z+{\bar {z}}),\,$
$\operatorname {Im} \,(z)={\tfrac {1}{2i}}(z-{\bar {z}}).\,$
$|z|={\sqrt {z{\bar {z}}}}$

Comment pouvons nous représenter le conjugué d’un nombre complexe sur le plan ? Nous avons dit que le conjugué d’un nombre complexe se définissait par la partie imaginaire comme étant négative, autrement dit, en admettant que les imaginaires se situent sur l’axe des y, on peut facilement s’illustrer ceci sur le plan :

Le conjugué d’un nombre complexe :

Le conjugué d’un nombre complexe à le même module que le complexe lui même, mais un argument (angle) opposé. Le conjugué d’un nombre complexe est le symétrique de ce nombre par rapport à l’axe des abscisses.

Que pouvons nous rajouter ? Quelques propriété de l’argument d’un nombre complexe par exemple, tel que :

Si z est un nombre réel, alors arg(z) = 0 [π] (On peut dire 0 modulo pi, autrement dit arg(z) = 0 + kπ, autrement dit, cela veut dire que cette affirmation est vrai à chaque fois que nous rajoutons pi à la valeur initiale, c’est à dire que nous faisons un tour de cercle entier).
Si z est un imaginaire pur, alors arg(z) = π/2 [π]
arg( ${\bar {z}}$ ) = – arg(z)
arg(-z) = arg(z) + π

il existe un inverse à tout nombre complexe non nul, et cet inverse se traduit de la manière suivante :
${\frac {1}{a+{\rm {i}}b}}={\frac {a-{\rm {i}}b}{a^{2}+b^{2}}}.$
Nous avions besoin de voir les propriétés du conjugué d’un nombre complexe pour arriver à exprimer l’inverse d’un nombre complexe. En effet, Il n’est à priori pas très intuitif d’arriver au raisonnement et au résultat ${\frac {1}{a+{\rm {i}}b}}={\frac {a-{\rm {i}}b}{a^{2}+b^{2}}}.$ Comment doit on procéder ? Les anciens mathématiciens eurent une idée, pour simplifier le résultat, il fallait multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du complexe en question, tel que 1/a+ib ou 1/ z = 1 × (a – ib)/ (a + ib) × (a – ib), et grâce aux propriétés vu plus haut, nous savons que (a + ib)(a – ib) = a² + b².

Propriétés trigonométriques et exponentielle des nombres complexes :

Voyons maintenant une autre notion concernant les nombres complexes, nous avons vu le formalisme concernant la forme algébrique de ces derniers, maintenant, nous allons voir la forme polaire. Rappelons ce que veut dire la forme polaire, dans un plan à deux dimensions, en mathématiques, un un système de coordonnées polaires signifie que chaque point de ce plan, est entièrement déterminé par un angle et une distance. Autrement dit, il s’agit d’un plan ou les fonctions trigonométriques s’appliquent le mieux, et ou un plan de type cartésien « s’oppose ».

Tout nombre complexe peut s’écrire sous sa forme trigonométrique de cette manière :

$z = r (cos(θ) + i sin(θ))$ avec $r > 0$ . Qu’est ce que ce r ? Eh bien, pour tout couple de réels (a,b), différents du couple (0,0), il existe un réel positif r et une famille d’angles θ déterminés à un multiple de 2π près tels que a = r cos(θ) et b = r sin(θ). Pourquoi à 2π près ? Nous savons, de par les fonctions trigonométrique, qu’en faisant un tour sur le cercle trigonométrique, c’est à dire en ajoutant ou en enlevant 2π, nous retombons sur le même angle, la raison est aussi simple dans ce cas de figure ci. En réalité, le r n’est autre que le module du complexe z et est noté |z|. Le réel θ (thêta), est appelé argument du complexe z et est noté arg(z), donc, on peut également utiliser cette notation : $z = |z| (cos(θ) + i sin(θ))$ avec $r > 0$

Vous me direz, mais comment connaissons nous les valeur du cosinus et du sinus ? En fait, il suffit de se servir de la définition du cosinus dans un triangle rectangle. Voici le schéma qui va nous aider :

Nous connaissons la formule du cosinus dans un triangle (cosinus = adjacent/hypoténuse), par conséquent, il nous est possible d’extrapoler et de déduire que cosθ = a/|z| . a étant le côté adjacent, et |z| l’hypoténuse. Nous connaissons également la formule du sinus (opposé/hypoténuse), donc, sinθ = b/|z|, b étant le côté opposé. Donc, en modifiant un peu l’égalité, on a :

a = |z| cosθ et b = |z| sinθ avec |z| > 0 .

Maintenant, en considèrant que nous sommes dans le plan complexe et que a et b s’écrivent tels que z = a + ib, et que nous connaissons à présent les valeurs de a et de b, alors on retombe sur l’expression que nous avions au départ, autrement dit :

z = $|z| (cos(θ) + i sin(θ))$ avec |z| $> 0$

Si cette notion vous parait encore vague, voici une vidéo très claire et explicite qui vous aidera à comprendre comment représenter trigonométriquement les nombres complexes : https://www.youtube.com/watch?v=zIbpXlgISc4 .

Il est également possible d’écrire ces nombres complexes sous leur forme exponentielle, en utilisant la formule d’Euler : z = |z| e^iθ ou z = r e^iθ . Modifions un peu cette égalité. On sait que z = |z| (cosθ + i sinθ), donc si on en croit la formule d’Euler, on peut l’écrire également de cette manière : |z| e^iθ = |z| (cosθ + i sinθ). En simplifiant par le module, on a donc e^iθ = cosθ + i sinθ. Ceci, est exactement la formule d’Euler, qui se généralise à tout x appartenant aux complexes, de telle sorte que e^ix = cosx + i sinx.

Vous me direz, mais d’ou vient cette égalité avec la fonction exponentielle, quel est le rapport? Nous allons voir d’ou cette expression vient en projetant par exemple dans le cercle trigonométrique, l’égalité ci dessus dans le plan des complexes :

Propriété et technique intéressante : permettons nous d’écrire ceci : e^iθ = cosθ + i sin, considérons cette égalité l’égalité 1 et e^-iθ = cosθ – i sin l’égalité 2.

Si on fait 1 + 2, on a : 2cosθ = e^iθ + e^-iθ . (le i sinθ – sinθ se simplifient). Donc , cosθ = (e^iθ + e^-iθ )/2.

Si maintenant on fait 1 – 2, on a 2isinθ = e^iθ – e^-iθ . Par conséquent, i sinθ = (e^iθ – e^-iθ )/2.

Ceci est un moyen d’exprimer le sinus et le cosinus en fonction de l’exponentielle complexe et de trouver leur valeur.

Pour le moment, l’origine de la formule d’Euler ne vous parle peut être toujours pas, alors prêtez bien attention à ce qui va suivre, car nous allons un peu extrapoler, l’explication comporte plusieurs étapes et nous allons essayer de faire en sorte de la meilleure manière possible, que vous réussissez à recouper les différentes raisons de l’existence de cette équation et de la comprendre.

On sait écrire algébriquement ce que vaut z = (a + ib), on sait également écrire ce que vaut z sous forme trigonométrique (|z| (cosθ + i sinθ)). Est il possible d’expliquer comment nous pouvons affirmer que e^iθ = cosθ + i sinθ ? Effectivement, il est tout à fait possible de le démontrer, il existe d’ailleurs plusieurs méthodes pour ce faire.

Ce qu’il faut savoir avant toute chose, c’est que i à pour argument π/2, effectivement, si on regarde sa projection sur le plan complexe, on peut voir que son angle représente un quart de cercle. On sait également que le module de i (est égal à 1 (|i| = 1). Ceci est très intéressant, car si on décide de placer arbitrairement un nombre complexe z sur le plan, et qu’on le multiple (multiplication complexe) par i, lorsqu’on mesure l’angle entre iz et z, on remarque que cet angle est égal à π/2. On peut écrire ce calcul de cette manière : Arg(iz) = π/2 + Arg(z). En réalité, on retrouve exactement ce que l’on veut, on constate, que i agit presque comme un opérateur sur les nombres complexes, lorsque nous le multiplions à un vecteur, cela lui donne une nouvelle direction qui est orthogonale à la direction initiale.

On peut aussi définir une fonction que l’on va appeler f(t) et qui sera une fonction définie dans le temps. On définit également que i f(t) = f'(t).

L’égalité est donc la suivante i f(t) = f'(t) = f(t + 2π). Pourquoi cette égalité ? Car e^iπ/2 = i. Par conséquent, on voit que cette fonction est une fonction du temps, et qui définit un cercle, de rayon 1 (également de rayon i).

Donc, quelles conclusions pouvons nous en tirer ? Si nous associons une fonction du temps f(t) à tout point du cercle trigonométrique comme étant f(t) = cos(t) + i sin(t) car une fonction complexe renvoie un nombre sous la forme (x + iy) et chaque instant t, peut être associé à un point dans le plan complexe d’affixe ci-dessus. Nous savons également que e^iπ/2 = i. Alors et de ce fait, nous pouvons écrire que e^iθ = cosθ + i sinθ .

Un autre moyen de vérifier la formule de Euler serait de résoudre l’équation différentielle $\forall t\in \mathbb {R} \quad \mathrm {e} ^{\mathrm {i} t}=\cos t+\mathrm {i} \sin t$

La dernière méthode pour démontrer cette formule est d’appliquer la fonction exponentielle complexe via le développement en séries de Taylor, cependant, cela prendrait trop de temps et c’est une notion que nous n’avons pas encore vu non plus, par conséquent, nous n’en parlerons pas plus dans ce chapitre.

Avant de terminer cet article, abordons une dernière notion, qui n’est pas sans rappeler des propriétés du sinus et du cosinus. On sait que :

Ce que nous démontre les complexes, c’est qu’il en est de même pour ces derniers, tel que :

$\cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$
$\sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$

Ceci démontre deux choses qui sont des propriétés importantes des nombres complexes. D’une part, que le produit de deux nombres complexes non nuls a pour module le produit des modules et pour argument la somme des arguments. D’autre part, que le quotient de deux nombres complexes non nuls a pour module le quotient des modules et pour argument la différence des arguments.

En fait, la forme exponentielle d’un nombre complexe met en évidence ces deux affirmations, de telle sorte que :

$\left(r{\rm {e}}^{{\rm {i}}\theta }\right)\left(r'{\rm {e}}^{{\rm {i}}\theta '}\right)=(rr'){\rm {e}}^{{\rm {i}}(\theta +\theta ')},$
$\left(r{\rm {e}}^{{\rm {i}}\theta }\right)^{-1}={\tfrac {1}{r}}{\rm {e}}^{-{\rm {i}}\theta }.$

Ces affirmations permettent d’appliquer les propriétés de le fonction exponentielle réelle dans le plan des complexes.

Formule de Moivre :

La formule de Moivre permet de simplifier les puissances de nombres complexes de forme trigonométrique, et s’écrit de la manière suivante :

(cosθ + isinθ)^n = cos(nθ) + isin(nθ).

On peut faire la démonstration de cette formule, par récurrence sur n.

La formule est vraie pour n = 0.

Prouvons l’hérédité :
(cosθ + isinθ)^n = (cosθ + isinθ)^n-1 × (cosθ + isinθ)
= (cos((n-1)θ) cosθ) – (sin((n-1)θ)sinθ) + i(cos((n-1)θ) + sinθ + sin((n-1)θ cosθ)
= cos(nθ) + isin(nθ).

La formule de Moivre s’applique à la forme exponentielle, de la forme:
(e^iθ)^n = e^inθ

En découle d’autres propriétés et évidences :

z = ρe^iθ avec ρ le module du nombre complexe.
z^n = (ρe^iθ)^n = ρ^n (e^iθ)^n = ρ^n e^inθ

1/z = 1/ρe^iθ = 1/ρ e^-iθ

${\bar {z}}$

Application à la trigonométrie et linéarisation :

Que veut dire linéarisation ? En fait, on va essayer d’exprimer cos^nθ et sin^nθ en fonction de coskθ et sinkθ.

Prenons un exemple : cos3θ + isin3θ = (cosθ + isinθ)³.
Grâce à la formule du binôme de Newton, on en déduit que (cosθ + isinθ)³ = cos³θ + 3i cos²θ sinθ – 3cosθ sin²θ – isin³θ.
En factorisant maintenant, et en isolant la partie réelle et la partie imaginaire, on a :
cos³θ + 3i cos²θ sinθ – 3cosθ sin²θ – isin³θ = (cos³θ – 3cosθ sin²θ) + i (3cos²θ sinθ – sin³θ). Ici, on a simplement rassemblé les termes réels ensemble, et les termes imaginaires ensemble également.
Donc, on en déduit que cos3θ = cos³θ – 3cosθ sin²θ et sin3θ = 3cos²θ sinθ – sin³θ.

Pour ce faire, on va poser, sin³θ = (e^iθ – e^-iθ /2i)³ Formule d’Euler.

Autre exemple, on veut linéariser coskθ et sinkθ, et en l’occurrence, sin³θ, de manière faire « disparaître » les puissances.
Tout d’abord, et en utilisant la formue d’Euler et celle de Moivre, on sait que sin³θ = (e^iθ – e^-iθ /2i )³.
Si on développe, on a (-1/2i)³ (e^iθ – e^-iθ )³ = -1/8i (e^iθ – e^-iθ )³ .
En se servant du binôme de Newton et du développement de (a – b)³, on développe maintenant (e^iθ – e^-iθ )³ :
-1/8i [e^3iθ – 3((e^iθ )² × (e^-iθ )) + 3((e^iθ ) × (e^-iθ )²) – e^-3iθ ]. Tout ceci, si on le simplifie :
-1/8i (e^3iθ – 3e^iθ + 3e^-iθ – e^-3iθ ). A présent, on va regrouper les termes, tel que :
-1/8i (e^3iθ – e^-3iθ – 3(e^iθ – e^-iθ)). Selon la formule d’Euler, on a donc :
-1/4 ((e^3iθ – e^-3iθ )/2i – 3(e^iθ – e^-iθ)/2i). On reconnaît les formules du sinus, en ayant simplifié par 2i, pour conclure, on trouve :
-1/4 ((sin(3θ) – 3sinθ).

Racines n-ièmes :

Qu’est ce qu’un racine nième de manière générale ? La racine nième d’un nombre a est telle qu’un nombre b, élevé à la puissance n, soit égale à a, c’est à ire : bⁿ = a ou ⁿ√a
Par exemple, 3 est la racine 3 ème de 27, car 3³ = 27.

De la même manière, la racine ni-ième d’un nombre complexe est un b, tel que bⁿ = z.

Les racines n-ièmes b0, b1, b2, bn-1 de z sont les n complexes : bk = ρ^1/n e^{(iθ + 2kπ)/n} . Rappelons que la puissance 1/n correspond à une racine (√x = x^1/2).

On peut démontrer ceci de cette manière :

On cherche b = re^it tel que z = bⁿ ⇔ ρe^iθ = (re^it )^n = r^n e^intDonc, ρ = r^n car |ρe^iθ | = |r^ne^int |.
On sait également que arg(ρe^iθ ) = arg(r^n e^int ) (mod 2π). Donc, nt = θ (mod 2π) ou nt = θ + 2kπ pour tout k ∈ Z.
Donc, r = ρ^1/n ! et t = θ/n + 2kπ/n.

Ainsi, les solution pour bk = ρ^1/n e^{(iθ + 2kπ)/n} avec k ∈ Z.

Expliquons cela autrement.
On va supposer ce théorème comme étant vrai : Pour tout entier naturel n, l’ensemble des solution Sn de l’équation Z^n = 1.
Autrement dit, Sn = { e^(2ikπ)/n , avec k ∈ [0, n-1].
Cet ensemble admet exactement n solutions. Donc, si par exemple, on s’intéresse aux :
Racines carrées de 1, c’est à dire Z² = 1, il y en aura deux, si on s’intéresse aux racines cubes de 1, c’est à dire Z³ = 1, il y en aura trois, etc…

Prenons 3 exemple :

Pour Z² = 1 ou S2 = 1 et n = 2.
Pour k = 0, on a e^(2i0π)/n = e⁰ = 1.
Pour k = 1, on a e^(2iπ)/2 = e^iπ = -1.
Donc, S2 = {1 , -1}.

Pour Z³ = 1 ou S3 = 1 et n = 3.
Pour k = 0, on a e^(2i0π)/n = e⁰ = 1.
Pour k = 1, on a e^(2iπ)/3 = -1/2 + i√3/2 = (-1 + i√3)/2.
Pour k = 2, on a e^(4iπ)/3 = -1/2 – i√3/2 = (-1 – i√3)/2.
Donc, S3 = {1, e^(2iπ)/3 , e^(4iπ)/3 }.

Dernier exemple, pour Z^4 ou S4 avec n = 4.
Pour k = 0, on a e^(2i0π)/n = e⁰ = 1.
Pour k = 1, on a e^(2iπ)/4 = e^iπ/2 = i.
Pour k = 2, on a e^(4iπ)/4 = e^iπ = -1.
Pour k = 3, on a e^(6iπ)/4 = e^(3iπ)/2 = -i.
Donc, S3 = {1 , i, -1, -i}.

Pour k = n, cela revient à ajouter 2π à l’argument, donc n = b0, et de même bn+1 = b1.

Représentons cela géométriquement, avec z = 1 = eⁱ⁰ et n = 3.
On le sait, les racines 3 ème de l’unité sont {1, e^2iπ/3 , e^4iπ/3 } :

De même, si z = -1 = e^iπ avec n = 3, alors les racines 3 èmes de -1 sont {e^iπ/3 , e^{iπ + 2iπ/3} , e^{iπ + 4iπ/3} } = {e^iπ/3 , -1, {e^-iπ/3 } :

Dernier exemple, si z = 1, et n = 5, alors les racines 5 èmes de l’unité sont : {1, e^2iπ/5 , e^4iπ/5 , e^6iπ/5 , e^8iπ/5 }. :

Équations complexes de droites et de cercles :

Voilà, ce cours sur les nombres complexes est terminé. Beaucoup de points ont été ici abordés, et les notions que nous avons vu ici sont suffisantes pour recouvrir les formalismes physiques les utilisant, jusqu’à des niveaux assez avancés. En revanche, nous sommes loin d’avoir vu et d’avoir montré tout ce qu’il y a à savoir sur les nombres complexes, cette discipline de l’algèbre étant très vaste.
Si certains des points que nous avons abordé dans ce chapitre ne sont pas totalement clairs pour vous, et/ou que nos explications n’ont pas suffit, vous pouvez jeter un œil à cette playlist, qui condense parfaitement tout ce qu’il faut savoir au sujet de ce chapitre, et propose également des applications et des exercices sur les nombres complexes.

L’ensemble de Mandelbrot (en noir). Il s’agit de l’illustration d’un système dynamique dans le plan complexe.