Équations différentielles

Bonjour, aujourd’hui, nous allons étudier une notion mathématique fondamentale en physique, les équations différentielles.

Cette notion est présente dans tous les domaines de la physique, de la mécanique à la relativité générale, en passant par l’électricité.

Voici comment nous allons présenter ce chapitre :

• Définition d’une équation différentielle.
• Équation différentielle linéaire du premier ordre sans second membre à coefficient constant.
• Équation différentielle linéaire du premier ordre avec second membre à coefficient constant.
• Équation différentielle linéaire du premier ordre sans second membre à coefficient constant.
• Équation différentielle linéaire du premier ordre avec second membre et coefficient non constant.
• Théorème de Cauchy-Lipschitz.
• Équation différentielle linéaire du second ordre avec second membre nul et étude l’équation caractéristique.
• Équation différentielle linéaire du second ordre à coefficient constant avec second membre.
• Équation différentielle linéaire du second ordre à coefficient variable.
• Équation différentielle aux dérivées partielles. (Nécessite d’avoir vu le chapitre des dérivées partielles)

Deuxième partie (nécessite d’avoir vu les chapitres sur les espaces vectoriels,  …. ) :

• Équation différentielle non linéaire. 

 

Définition d’une équation différentielle :

Tout d’abord, qu’est-ce qu’une différentielle ?

On se rappelle que pour calculer la pente d’une droite, on exprime la variation de y par rapport à la variation de x. Dans le cadre d’une fonction, on exprime cela à travers une différentielle, qui revient à faire tendre la variation vers 0, telle que :

On peut donner un exemple d’équation différentielle simple :

Comment peut on résoudre ceci ? Il y a plusieurs manière. Par exemple, on voit que dy est la dérivée de y par rapport à x, ce qui veut dire que y est la primitive de x² + 1.
On peut résoudre ça également comme n’importe quelle équation différentielle, et on peut manipuler ces différentielles presque comme on manipule des nombres.
Ce que l’on va faire, c’est multiplier de chaque côté par dx :

A présent, que fait on ? On va tout simplement prendre l’intégrale des valeurs de chaque côté de l’égalité :

On intègre tout ceci et on obtient (attention de ne pas oublier la constante d’intégration) :

A la différence d’une équation simple, les solutions d’une équation différentielle sont des fonctions ou un ensemble de fonctions. Cela revient à se demander quelle(s) fonction(s) satisfait/ont à cette équation.

Si maintenant on veut trouver une solution particulière, c’est à dire se demander ce que vaut y(1) par exemple, et déterminer la constante C ? Il suffit alors de remplacer y et x par 1 :

On trouve que C = -1/3.

Prenons un autre exemple, on veut résoudre :

On va multiplier par dx de chaque côté et multiplier par y :

A présent, et comme précédemment, on va prendre l’intégrale des deux côtés de l’égalité :

et on obtient :

On définit ici deux constantes C1 et C2, car C1 ≠ C2, il est donc important de les dissocier. A présent, on réarrange les termes :

On sait qu’une constante est une constante, C1 pourrait être n’importe quelle constante, tout comme C2, pour cela, la différence entre ces dernières pourrait également être n’importe quelle constante. Nous allons donc décider de remplacer C2 – C1 par C3.
On va multiplier chaque côté par 2 à présent. Si on multiplie C3 par 2, cela revient à dire qu’on multiplie une constante d’une valeur quelconque par 2, donc, on peut définir encore une autre constante qu’on va cette fois ci, appeler C :

A présent, ce que l’on veut, c’est une solution particulière, telle que x = 1, y = 1. Il suffit de remplacer x et y par 1 :

Donc, C = 0. Si C = 0, alors x² – y² = 0, donc, x² = y².

 

 

 

Les équations types d’ordre 1:

Il existe plusieurs types d’équations linéaires du premier ordre.
Nous allons à présent nous pencher sur ces différents types d’équations et en expliciter les formes générales :

• Les équations du type ay'(x) + by(x) = 0
• Les équations du type a(x)y'(x) + b(x)y(x) = 0
• Les équations du type a(x)y'(x) + b(x)y(x) = g(x) 

 

Dans les deux premiers cas, par exemple, le cas a(x)y'(x) + b(x)y(x) = 0, a(x) et b(x) sont des fonctions de R ∈ R. On se penchera sur le premier cas d’abord, autrement dit le cas ay'(x) + by(x) = 0, ou a et b sont deux constantes, et ou le second membre est nul, on appelle cela, une équation homogène.

Pour les équations du type a(x)y'(x) + b(x)y(x) = g(x), nous allons voir comment résoudre ces dernières lorsque le second membre est une fonction polynomiale, du type a(x)y'(x) + b(x)y(x) = αX^n, lorsque le seconde membre est une fonction trigonométrique, qui serait par exemple de la forme a(x)y'(x) + b(x)y(x) = cos(x) ou encore lorsque le second membre est sous forme exponentielle.

 

Tout d’abord, occupons nous de a(x)y'(x) + b(x)y(x) = 0. Il n’est pas si difficile de résoudre une équation de ce type.
Nous allons utiliser un procédé qui n’est pas très aimé des mathématiciens pointilleux, car il s’agit d’une démonstration par l’absurde, qui manque de rigueur et qui considère que les fonctions ne s’annulent pas.
Cependant, c’est un bon moyen, simple, pour se rappeler de la forme des solutions homogènes d’une équation différentielle d’ordre 1 sans second membre.

On va expliciter la forme de la solution générale des deux premiers cas de figure. En effet, le procédé ne diffère guère.
On pose donc a(x)y'(x) + b(x)y(x) = 0, avec a(x) et b(x) des fonctions constantes. On réarrange les termes pour avoir :

Ensuite, on divise des deux côtés par a(x) et par y(x), et on a :

On intègre des deux côtés (c’est là que cette technique manque de rigueur, mais elle fonctionne, et est un bon moyen mnémotechnique de se souvenir de la forme) :

On a une opération de la forme u’/u à gauche. Cela nous donne :

A présent, on multiplie par l’exponentielle des deux côtés, sans oublier d’intégrer ln |y(x)| –> ln(y(x)) – ln(y(0)) et de passer le ln(y(0)) de l’autre côté.
On peut voir à droite que exp(ln(y(0))) = ln(y(0)). Ceci étant une constante, on va l’appeler λ :
On a donc :

Voici la solution homogène d’une équation de la forme a(x)y'(x) + b(x)y(x) = 0.

Lorsque a et b sont des constantes, tel que ay'(x) + by(x) = 0, la formule est tout simplement la suivante :

 

 

Équation différentielle linéaire du premier ordre sans second membre à coefficient constant :

Dans un premier temps, on va prendre deux exemples d’application d’équation différentielle d’ordre un à coefficient constant et sans second membre :

Dans le premier cas, imaginons que nous voulions résoudre l’équation suivante :

Pour cela, on va passer le y de l’autre côté :

A présent, on va diviser chaque côté par y, et on aura :

On va intégrer cette équation, en prenant t comme variable :

On sort les constantes de l’intégrale, on calcule, en utilisant la propriété de la dérivée d’une fonction de la forme u’/u, et on trouve :

On calcule à présent la primitive :

Donc, en changeant les termes, on a :

Comment simplifier ceci ? On connait la bijection réciproque du logarithme népérien, la fonction exponentielle, on peut donc écrire :

On sait que exp(ln(x)) = x, donc en simplifiant à nouveau :

Que peut on en conclure ? On en conclut que les solutions de l’équation y’ + y = 0 sont de la forme :

En effet, y(0) étant une constante, par convention, on remplace par k, comme nous l’avons fait plus haut. Que remarque on ? On remarque que la solution que nous avons trouvé est de la même forme que l’équation dont nous avions postulé l’existence plus haut, autrement dit, on a une solution de la forme :

 

A présent, voyons le cas :

on change les termes de côté :

On divise par 4 et par y :

On prend l’intégrale des deux côtés :

On calcule l’intégrale :

On passe ln(y(0)) de l’autre côté :

On passe à l’exponentielle et on change de nouveau la variable :

On change la variable t en la variable x, on change y(0) en lambda car c’est une constante, et on a bien une solution de la forme :

 

 

 

Équation différentielle linéaire du premier ordre sans second membre à coefficient variable :

Nous allons maintenant voir et tenter de résoudre des équations du type :

On a déjà exprimé la solution générale plus haut et nous avons démontré comment nous arrivions à ce résultat. Prenons un exemple à présent, on va tenter de résoudre :

On sait que la solution générale de cette équation différentielle est de la forme :

Donc la solution de l’équation homogène est :

 

 

 

Équation différentielle linéaire du premier ordre avec second membre variable :

Nous avons exprimé les solutions générales d’une équation différentielle d’ordre 1, lorsque le second membre est nul. A présent, nous allons voir ce qui se passe lorsque le second membre est non nul.

Nous allons résoudre l’équation différentielle suivante, avec un second membre étant un polynôme ;

En résolvant tout d’abord l’équation homogène, on a (Nous ne refaisons pas les étapes de calculs) :

Rappelez vous, lorsqu’on veut résoudre une équation différentielle, on veut trouver une fonction ou un ensemble de fonctions qui satisfont l’équation que l’on cherche à résoudre.
Quelle équation satisfait la résolution d’un polynôme de degrés 3 ?

Si on remplace f_0, en ajoutant sa dérivée que l’on a calculé, dans l’équation, on a :

On rassemble les termes :

A présent, il faut calculer les valeurs de a,b,c et d, et pour cela, on utilise un système d’équation. On peut d’ors et déjà constater que a = 1, pourquoi ? x³ est le polynôme de plus haut degrés, et on cherche à démontrer que toute l’équation vaut x³. par conséquent, a ne peut pas être différent de 1, car x³ = 1 × x³, donc a = 1. On pose donc le reste :

Donc :

Alors :

Et pour finir :

On remplace les valeurs de a,b,c et d dans l’équation de f_0(x), et la solution particulière est :

Donc, la solution générale de l’équation est la somme de la solution homogène et d’une solution particulière :

Nous pourrions trouver lambda si nous avions les conditions initiales. Puisque c’est souvent le cas dans les équation en physique, nous allons définir y(0)= 2 et trouver la constante lambda :

Donc :

On trouve que :

Pour finir, voici la solution générale de l’équation différentielle que nous cherchions, avec conditions initiales, en remplaçant lambda par la valeur que nous venons de lui trouver :

 

Résolvons maintenant une équation différentielle du premier ordre avec second membre de la forme d’une fonction trigonométrique :

Nous connaissons la solution de l’équation homogène :

Calculons à présent avec le second membre. Pour cela, on va devoir trouver une somme de deux fonctions trigonométriques qui fasse nous renvoi sin, et qui ait la même forme. Si on suppose que y(x) = sin, ça ne fonctionne pas, car y'(x) = -cos(x). Donc, que pouvons nous faire ? Trouver une solution qui soit à la fois des cosinus, et à la fois des sinus.

On va donc poser :

A présent, appliquons cette valeur de f0(x) dans l’équation initiale :

Rassemblons les termes en factorisant par sin et cos :

Tout comme pour l’équation différentielle avec le second membre polynomiale, on va utiliser un système d’équation :

On calcule beta :

On retranscris la valeur de bêta dans la première ligne :

On calcule alpha :

Donc bêta :

Par conséquent, une solution particulière de l’équation est :

On voit bien que ce qui est facteur de sin fait 1, et ce qui est en facteur de cos fait 0. On a bien trouvé une solution particulière.

Maintenant, il faut faire la somme de la solution homogène et de la solution particulière pour trouver la solution générale de cette équation :

 

 

 

 

Équation différentielle linéaire du premier ordre avec second membre et coefficient non constant :

Maintenant que nous savons résoudre des équations différentielles linéaires d’ordre sans second membre, nous allons nous pencher sur les équations différentielles du premier ordre, mais à coefficients variables.
Autrement dit, des équations du type :

Il y a plusieurs manières de les résoudre, essayons de résoudre celle ci de manière « traditionnelle ».

On va essayer de résoudre l’équation suivante :

Tout comme les équations que nous avons résolu plus haut, on d’abord résoudre l’équation homogène :

On va tout de suite prendre un exemple :

Donc :

On va simplifier le second terme pour pouvoir l’intégrer :

A présent, intégrons des deux côtés (A noter qu’intégrer x/2x, revient à intégrer 1/2, car les x se simplifient), en prenant « t » comme variable (Ne pas oublier non plus le changement de signe) :

et on a :

Ensuite, on passe ln|y(0)| de l’autre côté et on passe à l’exponentielle :

On change de nouveau la variable et on simplifie :

C et y(0) étant des constantes, une constante multiplié par une autre restant une constante, la solution de l’équation homogène est :

 

Nous avons trouvé une solution de l’équation homogène, mais maintenant, il nous faut reprendre l’équation initiale et trouver la solution de l’équation avec second membre variable :

Comment allons nous procéder ? On sait que la solution générale d’une équation différentielle linéaire avec second membre est la somme de la solution homogène et d’une solution particulière. Il nous reste à déterminer une solution particulière.
On peut voir qu’il s’agit d’un polynôme, on va donc devoir trouver un polynôme qui corresponde. Attention, la variable x étant elle même dans les coefficients, on va devoir prendre un polynôme de degrés inférieur à celui du second membre. Autrement dit, on va poser  :

On remplace les valeurs de la fonction et de sa dérivée dans l’équation :

On développe :

En éliminant les termes entre eux, on a :

On rassemble les termes :

On a un système d’équation à résoudre :

On en déduit facilement que b=-2.
c est également égal à 0 car le second membre ne comporte que x³.

On retranscris les valeurs de a et de b dans f(x) et on a :

On fait la somme de la solution homogène et de la solution particulière que nous avons trouvé :

 

 

A présent, on va utiliser une technique qu’on appelle « variation de la constante ».
Prenons l’équation :

Nous n’allons pas refaire toute la résolution de l’équation homogène, car nous savons que la solution de cette dernière est de la forme :

La méthode de la variation de la constante consiste à supposer lambda comme une fonction.
Cette notion a été introduite par le mathématicien français Pierre-Simon de Laplace.
On va essayer de trouver une solution particulière de la forme :

Cette fonction est solution si :

Que peut on remarquer ? On peut remarquer que certains termes s’annulent, on a donc :

Autrement dit :

On calcule la primitive de λ'(x) et on trouve :

*On trouve ici une primitive à une constante près.

La solution particulière est donc :

Il ne nous reste plus qu’à faire la somme d’une solution particulière et de la solution homogène :

 

 

Prenons un cas un petit peu velue :

On va résoudre cette équation sur l’intervalle ]-1;+∞[.

On sait que la solution de l’équation homogène est de la forme :

Qui, une fois calculée et simplifiée donne :

A présent, on va chercher une solution particulière.
En utilisant la méthode de la variation de la constante, on va poser :

On dérive (opération de fonction de type f/g) :

f(x) est solution de l’équation si et seulement si :

On voit que les lambda(x) se simplifient :

On calcule la primitive, et pour cela, il va falloir utiliser une intégration par partie. Tout d’abord, on intègre ln(1+x) :

Il faut trouver un moyen de simplifier l’intégration du second membre, comment peut on faire ? On peut écrire :

On découpe cette fraction en deux :

Alors :

A présent, on réécrit l’intégralité du calcul :

Il est à présent plus simple de trouver des primitives des intégrales du second membre (attention au changement de signe) :

On factorise par (t+1) :

Rappelons qu’il fallait trouver une primitive de :

Nous connaissons une primitive de ln(x+1), nous venons de la trouver, mais la primitive de 1 est x.  Ce x et le -x de la primitive de ln(x+1) s’annulent, et donc, nous avons trouvé notre solution particulière :

Exprimons à présent la solution générale de cette équation, qui est la somme de la solution homogène et d’une solution particulière :

 

 

Théorème de Cauchy-Lipschitz :

 

 

 

 

Équation différentielle du second ordre avec second membre nul et étude de l’équation caractéristique :

Les équations différentielles du second ordre se résolvent un petit peu différemment de celle du premier ordre, le procédé est plus long, car il fait intervenir des discriminants et ce qu’on appelle l’équation caractéristique.

 

Commençons par résoudre une équation différentielle du second ordre sans second membre.
Comment résout on par exemple, une équation de la forme :

Voici comment s’écrit la formulation d’une équation différentielle d’ordre n, avec second membre nul :

Avec a indice n les constantes, et y indice n, l’ordre de la dérivée.

Pourquoi exprimons nous ceci ? Nous cherchons à résoudre une équation différentielle d’ordre 2 ?
En réalité, à partir du rang 2, les équations différentielles se résolvent de la même manière, et nous allons généraliser cette dernière. Nous définirons cette notion plus tard grâce aux polynômes.

La similarité avec la résolution d’une équation du premier ordre, est que nous cherchons un y avec une forme exponentielle.
Supposons que nous ayons une fonction phi, qui soit solution de l’équation différentielle ay » + by’ + cy = 0, telle que :

Par conséquent, en accord avec l’équation initiale, on peut poser :

Donc, si on dérive, on a bien :

On peut mettre l’exponentielle en facteur :

Une exponentielle étant toujours non nulle, on peut la simplifier :

Ceci est intéressant, car pour que la fonction phi soit solution de l’équation, il suffit que r soit solution de l’équation du second degrés :

On en arrive donc à l’équation caractéristique, qui se note :

A présent, il s’agit de trouver son discriminant. On le rappelle, la formule du discriminant est Δ = b² – 4ac.
Dans notre cas de figure, b = a, et c = b, donc : Δ = a² – 4b. 

Trois cas de figure se présentent à nous (que nous allons l’un après l’autre, expliquer :

• Si Δ > 0, alors l’équation admet deux solutions réelles :
  
• Si Δ = 0, alors, l’équation admet une seule solution réelle :
  
• Si Δ < 0, l’équation admet alors deux solutions complexes et conjuguées :
  
  Donc :
  
  On en déduit alors que :
  

Avant de continuer, récapitulons ce que nous savons.

Nous savons que si r est une solution de l’équation différentielle X² + aX + b = 0, alors φ(x) est également solution de l’équation y »+ ay’ + by = 0.
Nous allons prendre une fonction f qui soit solution de l’équation, et nous noterons Df son ensemble de définition.

 

Nous allons nous tout d’abord, essayer de démontrer que les solutions dépendent totalement de la valeur de r.
Nous savons  qu’une exponentielle étant toujours non nulle, il est donc tout à fait possible de diviser f(x) par exp(rx).

On va donc considérer une fonction g, qui, pour tout réel x de l’ensemble Df, est définie par :

Donc, on peut définir f(x) comme :

Nous est-il possible de dériver cette fonction ? Oui, la fonction g étant à priori bien dérivable, on peut (attention c’est la dérivée d’un produit de deux fonctions, on fait donc u’v + uv’) :

On dérive à nouveau :

On rassemble les termes :

Pourquoi avoir fait tout cela ? Eh bien, on sait que f est solution de l’équation différentielle y »+ay’+by = 0, donc, il nous suffit de remplacer f dans cette dernière :

On remplace par les valeurs que nous avons trouvé (c’est un peu long) :

A présent, si on factorise par l’exponentielle :

Cependant, on sait que r est solution de l’équation polynomiale X² + aX + b = 0, donc, r² + a.r + b = 0, donc :

Que sait on également ? On sait qu’une exponentielle est toujours non nulle, donc, on peut l’exclure de l’équation :

Deux cas se présente ici :

Voyons le premier cas de figure. Lorsque Δ = 0.

Le cas ou (2 r + a) = 0, et donc r = -a/2.

Dans ce cas, le discriminant de l’équation caractéristique vaut 0 et donc possède une unique solution.
Donc g »(x) = 0.

En intégrant deux fois, on a :

En intégrant une seconde fois, pour trouver g(x), on a :

On connait f(x) :

Donc, on va pouvoir exprimer f(x) en fonction de g(x) :

Avec C1 et C2 des constantes réelles.
Voici la solution homogène de l’équation différentielle d’ordre 2 lorsque le discriminant est nul.

 

Voyons le deuxième cas de figure. Lorsque Δ ≠ 0.

A présent, si (2 r + a) est différent de 0…

Dans ce cas, comme nous le savons, X² + aX + b = 0 a deux solutions distinctes. On sait que r est solution de l’équation caractéristique, la deuxième, on l’appellera r’.

On se retrouve avec une équation linéaire d’ordre 2, mais de degrés 1, qui est :

Ceci se résout de la même manière qu’une équation différentielle linéaire d’ordre 1 :

On a donc :

On connait la forme u’/u, en intégrant les deux membres de l’égalité, on trouve :

Ne pas oublier le dx

 

Alors :

On passe à l’exponentielle :

L’exponentielle annule le logarithme, g'(x0) est une constante, et ,  alors :

Nous avons trouvé g'(x), cependant, il nous faut g(x), on intègre donc à nouveau. On utilise donc la propriété de la primitive d’une fonction de la forme u’ . exp(u) = exp(u), avec u = -(2rx + ax), u’ = 2r +a, étant une constante. Il faut à présent faire apparaître u’.  donc :

 

Revenons à présent à la fonction f. On peut maintenant écrire que tout réel x de l’ensemble Df est définit par :

Donc, si on remplace g(x) :

En développant, on trouve que :

Que sait on de r et de r’, nous avons vu plus haut que r + r’ = -a. On peut donc simplifier les termes du dessus, car r’ = -r – a :

Nous avons trouvé la solution générale de l’équation différentielle, lorsque delta est différent de 0. Prenons un exemple :

Calculons à présent le discriminant :

La solution de l’équation caractéristique est donc :

 

On sait qu’il peut y avoir deux issues lorsque delta est différent de 0. Ici, nous n’avons évoqué que le cas ou Δ > 0. En fait, les solutions r et r’, peuvent être soit réelles, soit complexes, en fonction du signe du discriminant.
Cependant, si on se rappelle du chapitre sur les nombres complexes, nous avons vu, et par conséquent, savons écrire la forme exponentielle d’un nombre imaginaire. On peut donc étendre la forme exponentielle à tous les complexes.

Un nombre complexe est de la forme z = a + ib, donc, la forme exponentielle d’un nombre complexe a + ib est :

Si on se souvient bien, on sait aussi que la forme exponentielle de iθ, est :

Si on remplace thêta par b, et qu’on l’implémente dans la formule, on a donc :

Cela est bien utile… Nous allons le voir…
En ce qui concerne C1 et C2, elles peuvent être des constantes réelles ou complexes également, en fonction de la nature de r et r’. En effet, lorsque nous calculons la primitive de exp-(2 r + a)x, qui est -1/2 r + a . exp-(2 r + a)x la constante que nous déduisons absorbe dès lors (-1/2 r + a), et, évidemment, si r est un nombre complexe, alors la constante déduite l’est aussi.

 

Que peut on résumer de ce que nous savons jusqu’ici ?

Si on considère l’équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficient constant de la forme y » + ay’ + by = 0, on peut dire que l’équation caractéristique de cette dernière se note X² + aX + b = 0.
On peut donc calculer le discriminant de cette équation.

• Si Δ = 0, alors l’équation admet une unique solution r, et toutes les solutions de cette équation sont de la forme :
  
  Ou C1 et C2 sont des constantes réelles.
• Si Δ ≠ 0, alors l’équation admet deux solutions distinctes r et r’, et les solutions de cette équations sont de la forme :
  
  Ou cette fois, C1 et C2 peuvent être réelles ou complexes.

 

Penchons nous sur le deuxième cas de figure, est-il satisfaisant compte tenu des points que nous avons mentionnés concernant le cas réel et le cas complexe ? Non, pas vraiment, pourquoi ? Car il faut définir deux situations bien différentes, lorsque le discriminant est positif, et lorsqu’il est négatif. Le cas ou le discriminant est positif n’est en soit, pas très compliqué.
Nous allons nous pencher sur les solutions lorsque r et r’ sont complexes, et tenter de pousser le raisonnement afin de peut être, trouver des solutions qui en découlerait, et qui seraient à valeurs réelles, ou du moins, qui nous permettrons de résoudre l’équation si nous avions des solutions initiales.

 

Le dernier cas de figure donc, lorsque Δ < 0.

Dans le cas de figure que nous allons voir ici, on va supposer que l’équation caractéristique X² + aX + b = 0, a un discriminant négatif. Cela implique que l’équation a deux racines complexes conjuguées r = α + i β et r’ = α – i β.

Si f est solution de l’équation y » + ay’ + by = 0, alors on sait que :

On remplace r et r’ par les valeurs des racines complexes conjuguées que nous avons trouvé :

A présent, on met exp(α) en facteur :

On cherche à simplifier ceci, faire disparaître les exponentielles complexes.
Que va t-on faire alors? On va se servir de la fameuse formule d’Euler et réécrire l’équation telle que :

Il est une autre propriété que nous connaissons du chapitre sur la trigonométrie, qui est la suivante :

On peut donc remplacer les termes de l’équation :

On met les constantes en facteur à l’intérieur des crochets :

Qu’avons nous dit plus haut ? La somme, la différence, le produit ou la division d’une constante par une autre reste une constante, donc :

 

Prenons tout de suite un exemple dans lequel nous allons pouvoir déterminer les constantes grâce aux conditions initiales. Voici l’équation différentielle que nous cherchons à résoudre :

On nous donne les conditions initiales suivantes :

f(0) = 1 et f'(0) = 0.

Avant toute chose, on sait qu’il faut calculer le discriminant, on pose donc :

Donc, Δ = -8. Alors :

Donc, on peut définir α et β :

En appliquant ces valeurs dans l’équation différentielle, on a :

A présent, tâchons de définir les constantes. On nous dit que f(0) = 1 et f'(0) = 0.
On va d’abord tâcher de trouver une des deux constantes :

En fait, on se rend vite compte que C3 = 1.

De ce fait, en remplaçant C3 par sa valeur dans la solution homogène de l’équation :

Maintenant il nous faut calculer la dérivée de f(x) en sachant que f'(0) = 1 (attention, on a là la forme (u.v)’) :

On remplace f'(x) par f'(0) = 0 :

Ah ! Mais que vois on également ? On voit que C4 = 1 aussi. On peut terminer en remplaçant également C4 dans l’équation homogène et trouver sa solution générale :

 

 

Équation différentielle linéaire du second ordre à coefficient constant avec second membre :

 

Nous allons voir à présent, comment résoudre une équation différentielle linéaire d’ordre deux, avec second membre, de la forme :

On va supposer une fonction h, qui soit solution de l’équation homogène telle que :

On va appeler cette solution de l’équation homogène E(0).
A présent, on va supposer une autre fonction g, qui soit solution particulière de l’équation, telle que :

La solution générale de l’équation est la somme de la solution homogène et d’une solution particulière nous le savons, donc, on a le droit de définir une fonction, qui soit la somme de h et de g, et qui soit solution générale de l’équation, telle que :

On va appeler K(x), la fonction qui soit le résultat de la somme de g et de h. (Kx) = g(x) + h(x)).

Nous allons prendre un exemple simple, mais il faut savoir que la technique de résolution est similaire que dans le cas d’une équation différentielle du premier ordre lorsque le second membre est un polynôme ou une fonction trigonométrique.
On essaie de trouver une fonction de la même forme, par exemple la somme d’un cosinus et d’un sinus dans le cas d’une fonction trigonométrique, ou un polynôme de la forme « ax² + bx + c » si c’est une fonction polynomiale, et résoudre le système d’équation pour trouver les constantes.
Dans le cas que nous allons traiter, il s’agit d’une fonction de la forme exponentielle. Supposons que nous avons une équation à résoudre, telle que :

On commence par calculer le discriminant, et donc, l’équation homogène, telle que :

et on trouve :

On écrit l’équation avec les valeurs des racines qui sont positives, et supposer une fonction h, qui est solution de l’équation homogène :

A présent, on va considérer une fonction g, solution particulière de l’équation, et qui soit de la forme :

On va dériver cette fonction à présent :

La dériver à nouveau :

A présent, on va remplacer y par g dans l’équation différentielle initiale :

et donc :

Exp(3x) n’est pas égal à 0, donc on peut diviser de chaque côté par exp(3x) :

A présent, on connait la valeur de C3, et on peut donc faire la somme de h(x) et de g(x) pour trouver la solution générale de l’équation différentielle :

 

Le second membre peut évidemment être plus compliqué. On pourrait avoir par exemple avec une équation de la forme :

Contrairement à ce qu’on pourrait penser, il n’est pas si difficile de trouver la solution générale de cette équation différentielle.
On a pris ici une équation dont on connait la solution homogène et la solution de 2. exp(3x).
Il nous suffit de calculer la solution particulière pour 2. sin(x) et d’en faire la somme avec l’autre solution particulière et la solution homogène pour trouver la solution générale de cette équation différentielle.

Nous allons trouver une solution particulière de :

On connait déjà h, on va donc poser une fonction g, solution de l’équation particulière, telle que :

On va dériver cette fonction, et la dériver une seconde fois :

On remplace à présent la fonction g et ses dérivées dans l’équation :

On rassemble les termes en isolant les constantes à déterminer :

Il faut à présent résoudre le système d’équation suivant :

et :

Donc :

Alors :

En remplaçant A et B par les valeurs que nous venons de trouver, on a bien la solution particulière, telle que :

Il ne nous reste plus qu’à faire la somme des solutions particulière que nous avons trouvé et de l’équation homogène pour trouver la solution générale de l’équation, qui est :

 

 

Équation différentielle linéaire du second ordre à coefficient variable :

Nous savons à présent comment résoudre une équation différentielle linéaire d’ordre deux avec second membre, avec des coefficients constants.
Ce que nous allons voir maintenant, c’est lorsque les constantes sont des variables, telle que :

Ou a(x), b(x) et c(x) sont des fonctions continues de la variable x sur un intervalle I.

Cette situation est un petit plus velue que ce que nous avons vu jusqu’à présent, car certain cas particuliers nécessitent un développement en séries entières ou en séries de Fourier, et qui donne une approche approximative des solutions…

Nous allons voir si nous pouvons trouver une formule générale nous donnons les solutions de cette équation dans la plupart des cas.

Tout d’abord, il nous faut résoudre l’équation homogène, simplifier et poser :

On a donc :

Prenons un exemple :