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Introduction :

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Bonjour et bienvenue à tous, j’ai décidé de créer ce site dans le but d’attirer toute personne curieuse et passionnée en matière d’astronomie, de cosmologie mais aussi de physique dans son spectre plus global. Je souhaite apporter ma modeste contribution afin de satisfaire aussi bien les néophytes que les adeptes plus confirmés, pour cela, les articles seront parfois composés de deux parties. Une partie sera consacrée à la vulgarisation et aux explications simples, accessibles à tous. La deuxième partie sera plus « technique » et nécessitera parfois des connaissances plus approfondies des lois de la physique ainsi qu’une maîtrise d’outils mathématiques.

J’espère que vous apprécierez le contenu du site, et n’hésitez pas à m’écrire si vous avez les moindres remarques ou questions.

 Bonne lecture !

Ce Site est édité et rédigé par Gaël Renault avec la participation de Henri Soysouvanh.

(Site en construction et par conséquent, des erreurs ou des oublis pourraient demeurer, pour cela, n’hésitez pas à nous le signaler).

Systèmes de coordonnées

Nous vivons dans un monde en 3 dimensions, ce qui veut dire qu’il faut un jeu de 3 coordonnées
pour repérer un point dans l’espace. En effet, dans le chapitre des espaces vectoriels, nous avons appris que la dimension d’un espace vectoriel est donné par le nombre de vecteurs de la base {\left( \vec e_i \right)}_{i \in \{1,2,3\}}, ce qui veut dire que nous voulons des vecteurs à la fois libres (indépendants linéairement les uns des autres) et générateurs (qui permettent d’exprimer n’importe quel vecteur à partir de ces vecteurs de base).

Ensuite nous imposons que ces vecteurs soient orthogonaux deux à deux \vec e_i \cdot \vec e_j =0 pour i \neq j, ce qui veut dire que leur produit scalaire est nul, et normés, ce qui veut dire que chaque vecteur de la base est de norme unité \vec e_i \cdot \vec e_i =1. Ces conditions sont résumées dans le symbole de Kronecker : \vec e_i \cdot \vec e_j  = \delta_{ij}. Nous imposons également que la base constituée par les 3 vecteurs de la base constitue un trièdre direct, ce qui veut dire que la donnée de 2 vecteurs impose le 3ème vecteur.

On repère donc un point par la donnée d’un point d’origine, et des 3 vecteurs de la base \left(O, \vec e_1, \vec e_2, \vec e_3 \right). Les coordonnées \left(c_1, c_2, c_3\right) d’un point M veut donc dire :

\overrightarrow {OM} = c_1 \vec e_1 + c_2 \vec e_2 + c_3 \vec e_3

Nous allons définir les 3 systèmes les plus utilisés : les coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques, et voir comment elles sont reliées entre elles.

Coordonnées cartésiennes

Le système de coordonnées cartésiennes est sans aucun doute le système le plus intuitif. Etant donné un point origine et 3 axes, il suffit de repérer le point M par la distance x à parcourir dans la direction (Ox), la distance y à parcourir dans la direction (Oy), et la distance z à parcourir dans la direction (Oz).

Le vecteur repérant le point M s’exprime alors :

\overrightarrow {OM} = x \vec e_x + y \vec e_y + z \vec e_z

On notera que les vecteurs de la bases sont constants, les coordonnées ne le sont pas nécessairement.

Coordonnées cartésiennes

Coordonnées cylindriques

Il est également possible d’exploiter les symétries d’un système afin d’utiliser un système de coordonnées plus adapté. Par exemple si le système comporte un axe privilégié, il est possible de repérer un point par rapport à sa distance par rapport à cet axe, coordonnée radiale r, par l’angle que forme la projection sur le plan (Oxy) du vecteur repérant ce point avec l’axe (Ox) (l’angle OH avec l’axe des abscisses), et puis par la distance à parcourir sur cet axe par rapport au point d’origine O. On note M(r,\theta,z) les coordonnées de ce point obtenant le vecteur position :

\overrightarrow {OM} = r \vec e_r (\theta) + z\vec e_z

Coordonnées cylindriques

L’on notera que le vecteur radial \vec e_r qui dépend implicitement de la coordonnée \theta s’exprime en fonction des vecteurs de la base cartésienne de la façon suivante :

\left\{ \begin{array}{rcl}\vec e_r  & = &\cos\theta \vec e_x + \sin \theta \vec e_y\\ \vec e_\theta &=& -\sin\theta\vec e_x + \cos\theta \vec e_y \end{array}\right.

De la même façon, nous pouvons exprimer les vecteurs de la base cartésienne en fonction des vecteurs de la base cylindrique :

\left\{ \begin{array}{rcl}\vec e_x & = &\cos\theta \vec e_r - \sin \theta \vec e_\theta\\ \vec e_y &=& \sin\theta\vec e_r + \cos\theta \vec e_\theta \end{array}\right.

Établissons l’expression du vecteur orthoradial. Le vecteur correspond à la différence entre le vecteur radial au point M(r,\theta,z) au point infiniment voisin M(r,\theta + d\theta,z) où la coordonnée orthoradiale, et elle seule a augmenté de d\theta.

rd\theta \vec e_\theta = r\vec e_r(\theta + d\theta) - r\vec e_r(\theta) = d\theta \cdot d \vec e_r / d\theta

Géométriquement, la distance parcourue correspond à rd\theta dans la direction de \vec e_\theta, obtenant l’expression du vecteur :

\vec e_\theta = d\vec e_r / d\theta

Nous pouvons maintenant écrire la relation permettant de passer des cordonnées cylindriques aux coordonnées cartésiennes (la 3ème coordonnée étant identique) :

\left\{\begin{array}{rcl}x & = & r\cos\theta\\ y & = & r\sin\theta\end{array}\right.

De même la relation inverse permettant de passer des coordonnées cartésiennes aux coordonnées cylindriques sont :

\displaystyle \left\{\begin{array}{rcl}r & = & \sqrt{x^2 + y^2}\\ \theta & = & \arctan \left( \displaystyle \frac{x}{ \sqrt{x^2 + y^2} } \right)\end{array}\right.

L’on remarquera qu’il existe un point singulier, puisque pour x=0 et y=0 nous ne pouvons pas définir un angle \theta. C’est ce que nous appelons une singularité de coordonnées.

Coordonnées sphériques

Il existe un autre système de coordonnées adapté au système à symétrie sphérique, ce qui veut dire que par rotation autour d’un point O, le système reste invariant. Nous pouvons ainsi indiquer la position d’un point M par sa distance r par rapport à un point origine O, puis l’angle \theta entre l’axe \left( Oz\right) et la droite (OM). Et enfin, lorsque nous projetons le point M sur le plan (Oxy), obtenant le point H. La dernière coordonnée est définie par l’angle \varphi = (\vec e_x,\vec{OM}).

Les coordonnées seront notées M(r,\theta,\varphi).

Coordonnées sphériques

Le vecteur position s’exprime simplement avec l’aide de la distance r par rapport au point origine O et le vecteur radial \vec e_r qui dépend implicitement des deux autres coordonnées (\theta,\varphi) :

\overrightarrow {OM} = r \vec e_r(\theta,\varphi)

Nous pouvions relier les vecteurs de la base du système de coordonnées sphériques aux vecteurs de la base du système de coordonnées cartésiennes :

\left\{\begin{array}{rcl}\vec e_r & = & \sin\theta\cos\varphi\vec e_x + \sin\theta\sin\varphi\vec e_y + \cos\theta \vec e_z\\ \vec e_\theta & = & \cos\theta\cos\varphi\vec e_x+ \cos\theta\sin\varphi\vec e_y -\sin\theta\vec e_z\\ \vec e_\varphi & = & -\sin\varphi\vec e_x +\cos\varphi\vec e_y\end{array}\right.

De la même façon que précédemment le vecteur \vec e_\theta correspond au vecteur portant le déplacement de M(r,\theta,\varphi) à M'(r,\theta+d\theta,\varphi), ce déplacement correspond à parcourir un cercle de rayon r d’un angle d\theta, soit rd\theta :

rd\theta\vec e_\theta = \vec e_r(\theta+d\theta,\varphi) - \vec e_r(\theta,\varphi) = r d\theta\partial \vec e_r / \partial \theta

Obtenant : \vec e_\theta = \partial \vec e_r / \partial \theta

Le vecteur \vec e_\varphi s’obtient par formation d’un trièdre direct des trois vecteurs (\vec e_r, \vec e_\theta, \vec e_\varphi), soit :

\vec e_\varphi = \vec e_r \wedge \vec e_\theta

Remarque on peut également l’obtenir en considérant le vecteur supportant le déplacement entre les points M(r,\theta,\varphi) et M(r,\theta,\varphi + d\varphi), sachant que cela revient à parcourir un cercle de rayon r\sin\theta d’un angle d\varphi.

Nous pouvons également écrire l’expression des vecteurs de la base cartésienne avec les vecteurs de la base sphériques :

\left\{\begin{array}{rcl}\vec e_x & = & \sin\theta\cos\varphi\vec e_r + \cos\theta\cos\varphi\vec e_\theta - \sin\theta \vec e_\varphi\\ \vec e_y & = & \sin\theta\sin\varphi\vec e_r + \cos\theta\sin\varphi\vec e_\theta +\cos\varphi\vec e_\varphi\\ \vec e_z & = & \cos\theta\vec e_r  - \sin\theta\vec e_\theta\end{array}\right.

Les coordonnées sphériques sont reliées aux coordonnées cartésiennes de la manière suivante :

\left\{\begin{array}{rcl}x & = & r\sin\theta\cos\varphi\\ y & = & r\sin\theta\sin\varphi\\ z & = & r\cos\theta\end{array}\right.

Et de mêmes inversement les coordonnées cartésiennes sont reliées aux coordonnées sphériques de la manière suivante :

\left\{\begin{array}{rcl}r & = & \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\\ \theta & = & \arctan \left( \displaystyle\frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \right)\\ \varphi & = & \arctan \left( \displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \right)\end{array}\right.

Nous remarquons également, que l’angle \theta ne peut être défini à l’origine O qui est donc une singularité de coordonnées. De la même façon, l’angle \varphi ne peut être définie sur l’axe (Oz) là où les coordonnées x et y s’annulent.