Systèmes de coordonnées

Rotationnel

Définition

Soit $\vec{F}$ un champ de vecteur. Alors d’après le théorème de Stokes, il est possible de définir une quantité que l’on appelle rotationnel d’un vecteur, l’intégrale du vecteur $\vec F$ le long d’une boucle fermée est égale au flux du rotationnel de ce même vecteur à travers la surface orientée décrite par cette boucle.
$\displaystyle\oint_l\vec{F}\cdot\overrightarrow{dl} = \int\!\!\!\!\int_S (\vec\nabla\times \vec F)\cdot\overrightarrow{dS}$

Expression du rotationnel en coordonnées cartésiennes

Expression du flux

Soit la boucle dans le plan $x=cste$ , les sommets du carré ont les coordonnées : $(x,y,z)$ , $(x,y+dy,z)$ , $(x,y+dy,z+dz)$ et $(x,y,z+dz)$ . L’intégrale le long de cette boucle élémentaire s’écrit :
$\begin{array}{l} B_y(x,y,z)dy + B_z(x,y+dy,z)dz - B_y(x,y+dy,z+dz)dy - B_z(x,y,z+dz)dz =\\ \left(-\displaystyle\frac{\partial B_y}{\partial z} + \frac{\partial B_z}{\partial y}\right)dy\;dz\end{array}$
Les surfaces élémentaires des carrés sont $dS = dy\;dz$ Soit donc :
$\left(\vec\nabla\times\vec B\right)_x = \displaystyle\frac{\partial B_z}{\partial y} - \frac{\partial B_y}{\partial z}$
De la même façon par permutation circulaire des coordonnées, l’on obtient les flux à travers les autres surfaces élémentaires.

Expression du rotationnel

L’on obtient :

$\displaystyle\vec\nabla\times \vec B = \left(\frac{\partial B_z}{\partial y} - \frac{\partial B_y}{\partial z}\right)\vec{e}_x + \left(\frac{\partial B_x}{\partial z} - \frac{\partial B_z}{\partial x}\right)\vec{e}_y + \left(\frac{\partial B_y}{\partial x} - \frac{\partial B_x}{\partial y}\right)\vec{e}_z$

Expression du rotationnel en coordonnées cylindriques

Expression du flux

Soit la boucle en $r=cste$ , les sommets du carré ont les coordonnées : $(r,\theta,z)$ , $(r,\theta+d\theta,z)$ , $(r,\theta+d\theta,z+dz)$ et $(r,\theta,z+dz)$ . L’intégrale le long de cette boucle élémentaire s’écrit :

$\begin{array}{l} B_\theta(r,\theta,z)rd\theta + B_z(r,\theta+d\theta,z)dz - B_\theta(r,\theta + d\theta,z+dz)rd\theta - B_z(r,\theta,z+dz)dz =\\ \displaystyle \left(-r\frac{\partial B_\theta}{\partial z} + \frac{\partial B_z}{\partial \theta}\right)d\theta dz\end{array}$

Les surfaces élémentaires des carrés sont $dS = rd\theta dz$ . Soit donc :
$\left(\vec\nabla\times\vec B\right)_r = \displaystyle \frac{1}{r}\frac{\partial B_z}{\partial \theta} - \frac{\partial B_\theta}{\partial z}$

Nous allons procéder de la même façon avec la boucle en $\theta=cste$ , les sommets du carré ont les coordonnées : $(r,\theta,z)$ , $(r+dr,\theta,z)$ , $(r+dr,\theta,z+dz)$ et $(r,\theta,z+dz)$ , qui est orientée suivant $-\vec e_\theta$ . L’intégrale le long de cette boucle élémentaire s’écrit :
$\displaystyle \begin{array}{l} B_r(r,\theta,z)dr + B_z(r+dr,\theta,z)dz - B_r(r+dr,\theta,z+dz)dr - B_z(r,\theta,z+dz)dz =\\ \displaystyle \left(-\frac{\partial B_r}{\partial z} + \frac{\partial B_z}{\partial r}\right)dr dz\end{array}$
Les surfaces élémentaires des carrés sont $dS = dr dz$ . Soit donc :
$\left(\vec\nabla\times\vec B\right)_\theta = \displaystyle \frac{\partial B_r}{\partial z} - \frac{\partial B_z}{\partial r}$

Pour la boucle en $z=cste$ , les sommets du carré ont les coordonnées : $(r,\theta,z)$ , $(r+dr,\theta,z)$ , $(r+dr,\theta+d\theta,z)$ et $(r,\theta+d\theta,z)$ . L’intégrale le long de cette boucle élémentaire s’écrit :
$\begin{array}{l} B_r(r,\theta,z)dr + B_\theta(r+dr,\theta,z)(r+dr)d\theta - B_r(r+dr,\theta+d\theta,z)dr - B_\theta(r,\theta+d\theta,z)rd\theta =\\ \displaystyle\left(-\frac{\partial B_r}{\partial \theta} + \frac{\partial (rB_\theta)}{\partial r}\right)dr d\theta\end{array}$
Les surfaces élémentaires des carrés sont $dS = r\;dr\; d\theta$ , soit donc :
$\left(\vec\nabla\times\vec B\right)_z = \displaystyle\frac{1}{r}\left(\frac{\partial (rB_\theta)}{\partial r} - \frac{\partial B_r}{\partial \theta}\right)$

Expression du rotationnel

L’on en déduit de ce qui précède :
$\vec\nabla\times\vec B = \displaystyle\left(\begin{array}{l} \displaystyle \frac{1}{r}\frac{\partial B_z}{\partial \theta} - \frac{\partial B_\theta}{\partial z}\\ \displaystyle \frac{\partial B_r}{\partial z} - \frac{\partial B_z}{\partial r} \\ \displaystyle \frac{1}{r}\left(\frac{\partial (rB_\theta)}{\partial r} - \frac{\partial B_r}{\partial \theta}\right) \end{array}\right)$

$\vec\nabla\times\vec B = \displaystyle \left(\frac{1}{r}\frac{\partial B_z}{\partial \theta} - \frac{\partial B_\theta}{\partial z}\right) \vec e_r + \left( \frac{\partial B_r}{\partial z} - \frac{\partial B_z}{\partial r}\right) \vec e_\theta + \left( \frac{1}{r}\left(\frac{\partial (rB_\theta)}{\partial r} - \frac{\partial B_r}{\partial \theta}\right)\right)\vec e_z$

Coordonnées Sphériques

Expression du flux

Soit la boucle en $r=cste$ , les sommets du carré ont les coordonnées : $(r,\theta,\varphi)$ , $(r,\theta+d\theta,\varphi)$ , $(r,\theta+d\theta,\varphi+d\varphi)$ et $(r,\theta,\varphi+d\varphi)$ . L’intégrale le long de cette boucle élémentaire s’écrit :
$\begin{array}{l} B_\theta(r,\theta,\varphi)rd\theta + B_\varphi(r,\theta+d\theta, \varphi)r\sin(\theta+d\theta)d\varphi\\ -B_\theta(r,\theta+d\theta,\varphi+d\varphi)rd\theta - B_\varphi(r,\theta,\varphi+d\varphi)r\sin\theta d\varphi =\\ \displaystyle\left(-\frac{\partial B_\theta}{\partial \varphi} + \frac{\partial (\sin\theta B_\varphi)}{\partial \theta}\right)rd\theta d\varphi\end{array}$
Les surfaces élémentaires sont $dS = r^2\sin\theta d\theta d\varphi$ , soit donc :
$\left(\vec\nabla\times\vec B\right)_r = \displaystyle\frac{1}{r\sin\theta}\left(\frac{\partial (\sin\theta B_\varphi)}{\partial \theta} - \frac{\partial B_\theta}{\partial \varphi}\right)$

Soit la boucle en $\theta=cste$ , les sommets du carré ont les coordonnées : $(r,\theta,\varphi)$ , $(r+dr,\theta,\varphi)$ , $(r+dr,\theta,\varphi+d\varphi)$ et $(r,\theta,\varphi+d\varphi)$ . Cette surface élémentaire est orientée selon $-\vec e_\theta$ . L’intégrale le long de cette boucle élémentaire s’écrit :
$\begin{array}{l} B_r(r,\theta,\varphi)dr + B_\varphi(r+dr,\theta,\varphi)(r+dr)\sin\theta d\varphi \\ -B_r(r+dr,\theta,\varphi+d\varphi) dr - B_\varphi(r,\theta,\varphi+d\varphi)r\sin\theta d\varphi =\\ \left(-\displaystyle \frac{\partial B_r}{\partial \varphi} + \sin\theta\frac{\partial (rB_\varphi)}{\partial r}\right) dr d\varphi\end{array}$
Les surfaces élémentaires des carrés sont $dS = r\sin\theta dr d\varphi$ , soit donc :
$\left(\vec\nabla\times\vec B\right)_\theta = \displaystyle \frac{1}{r}\left(\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial B_r}{\partial \varphi} - \frac{\partial (r B_\varphi)}{\partial r} \right)$

Soit la boucle en $\varphi=cste$ , les sommets du carré ont les coordonnées : $(r,\theta,\varphi)$ , $(r+dr,\theta,\varphi)$ , $(r+dr,\theta+d\theta,\varphi)$ et $(r,\theta+d\theta,\varphi)$ . L’intégrale le long de cette boucle élémentaire s’écrit :
$\begin{array}{l} B_r(r,\theta,\varphi)dr + B_\theta(r+dr,\theta,\varphi)(r+dr)d\theta\\ -B_r(r+dr,\theta+d\theta,\varphi)dr - B_\theta(r,\theta+d\theta,\varphi)r d\theta =\\ \displaystyle \left(-\frac{\partial B_r}{\partial \theta} + \frac{\partial (rB_\theta)}{\partial r}\right)dr d\theta \end{array}$
Les surfaces élémentaires des carrés sont $dS = r\sin\theta dr d\varphi$ , soit donc :
$\left(\vec\nabla\times\vec B\right)_\varphi = \displaystyle \frac{1}{r}\left(\frac{\partial (r B_\theta)}{\partial r} - \frac{\partial B_r}{\partial \theta}\right)$

Expression du rotationnel

L’on en déduit de ce qui précède :
$\vec\nabla\times\vec B = \displaystyle\frac{1}{r\sin\theta}\left(\frac{\partial (\sin\theta B_\varphi)}{\partial \theta} - \frac{\partial B_\theta}{\partial \varphi}\right) \vec e_r + \displaystyle\frac{1}{r}\left( \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial B_r}{\partial \varphi}- \frac{\partial (r B_\varphi)}{\partial r}\right)\vec e_\theta + \displaystyle\frac{1}{r}\left(\frac{\partial (r B_\theta)}{\partial r} - \frac{\partial B_r}{\partial \theta}\right)\vec e_\varphi$

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2 commentaires sur “Systèmes de coordonnées”

lobez dit :

13 juin 2021 à 17 h 09 min

merci pour votre site , il est vraiment réussit et idéal pour un débutant

J’aimeAimé par 1 personne

Réponse
zagadoudou dit :

28 mars 2022 à 13 h 04 min

Merci mille fois !!!! Je suis passionné de physique et ce site m ‘ aide beaucoup !!! Ne le supprimez pas !!!!

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Publié par henrisoy

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