Suites

Bonjour, nous allons voir aujourd’hui les suites. Ce chapitre n’est pas un chapitre primordial en physique, il ne concerne que peu de domaines, et ceux qui auraient envie de le passer , ne seront pas pénalisés dans la compréhension de la majeure partie des chapitres de physique. Cependant, il est intéressant de s’y attarder un peu, car les méthodes, les formalismes, sont proches de ceux concernant les fonctions, et peuvent être d’intéressantes analogies, apportant une vision différentes sur ces notions, notamment en analyse, et en analyse complexe.

Voici la table des matières :

Propriétés générales sur les suites.
Suites arithmétiques.
Suites géométriques.
Somme de termes consécutifs.
Suites arithmético-géométriques.
Suites bornées, majorées et minorées.
Suites de Cauchy.
Suites complexes.
Suites extraites.
Relations de comparaisons.
Théorèmes de croissances comparées.

Historiquement, on retrouve la notion de suites aussi loin que la Grèce antique, ou l’Egypte en 1700 avant J-C, et Archimède, qui s’en servait pour des calculs d’aires et de volumes. Plus tard, des scientifiques et mathématiciens comme Newton, Pascal, Bernoulli, Moivre et d’autres, s’intéressent aux suites pour approcher des valeurs numériques. C’est à Lagrange que nous devons la notation indicielle des suites, qui ouvrit ensuite la porte aux séries entières dont le but sera, non plus d’approcher des nombres, mais des fonctions. Une des suites les plus connue aujourd’hui est la suite de Fibonacci, qui est une suite d’entiers dans laquelle chaque terme et la somme des deux termes qui le précèdent.

En bonus dans la partie finale, nous parlerons de séries harmoniques, et de la façon dont le mathématicien Jacques Bernoulli a démontré qu’une telle série est divergente, et nous parlerons également des séries de Riemann.

Suites :

Propriétés et généralités sur les suites et sommes :

Commençons par définir une suite, qu’est ce que c’est ? Une suite est un ensemble, une famille d’éléments, qu’on appelle des « termes ». On peut assimiler la suite d’un ensemble $E$ , à une application de $\mathbb {N}$ dans $E$

Il existe trois types de suites, en fonction du sous ensemble dont E fait parti. On parle de suite « entière » lorsqu’elle fait partie du sous ensemble $\mathbb {Z}$

$(u_{n})$

Il existe une formule qui permet de calculer directement $(u_{n})$

Donnons quelques exemples :

La suite nulle est la suite dont tous les termes sont nuls, de telle sorte que (0,0,0,0,…,0).

Un autre exemple de suite peut être $\forall n\in \mathbb {N} ,u_{n}={1 \over {n+1}}$ . C’est la suite de l’inverse des nombres entiers telle que la suite est $\left(1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{5}},{\frac {1}{6}},\cdots \right)$ .

On peut dire qu’une suite est une application de quelque chose que nous allons appeler « A ». A est une partie de $\mathbb {N}$

Donnons un autre exemple, comme la suite un = 3n + 4. Que vaut la suite en u5 ? C’est très simple, il suffit de remplacer n par 5, autrement dit, u5 = 3×5 + 4 = 19.

En fait, pour tout n, un+1 = 3(n+1) + 4.

Nous connaissons le terme sigma, Σ, qui représente la somme de termes allant d’une valeur initiale arbitraire à une énième valeur elle aussi arbitraire. Par exemple, $\sum _{{n=p}}^{{q}}u_{n}$ , se dit de cette manière : La somme des n=p, allant de n à q des un. Cette écriture exprime la somme $u_{p}+u_{p+1}+\cdots +u_{q}.$

Donnons un exemple plus concret, $\sum _{i\mathop {=} 3}^{6}i^{2}=3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}=86.$

On dit, somme des i, allant de 3 à 6 des i². On pourrait définir une suite ici, de telle sorte que $(u_{n})$

Serait il possible par exemple, de calculer S (valeur de la somme) = 1 + 2 + 3 +4 + n ?

Oui, c’est possible, comment ferions nous ? Ai-je le droit d’écrire ceci : S = n + (n – 1) + (n – 2) + (n – 3) + (n – 4) + 1 ? Rien ne m’en empêche, j’ai simplement écris la somme dans le sens inverse.

Maintenant, appliquons quelque chose d’extraordinaire, faisons la somme de ces deux termes : (S = 1 + 2 + 3 + 4 + n) + (S = n + (n – 1) + (n – 2) + (n – 3) + 1) = 2S = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) … On peut simplifier ceci : 2S = n × (n + 1) et donc S = (n + (n + 1))/2.

Il existe trois types de suites, commençons par les suites arithmétiques :

Une suite arithmétique est une suite « numérique », dans laquelle chaque terme permet de déduire le terme suivant en y ajoutant ce qu’on appelle « la raison ». La raison est une constante, qui permet de définir la récurrence d’une suite. On peut écrire de manière simple une suite arithmétique de cette manière : $u_{{n+1}}=u_{n}+r$ . autrement dit, et simplement par rapport à ,n, il est commode de l’écrire de cette manière : $u_{n}=u_{0}+nr.$

Donnons un exemple, si une suite est définie par $(u_{n})$

On a vu plus haut, que pour tout entier naturel n, $u_{n}=u_{0}+nr.$ De ce fait, on peut dire que u1 = u0 + r, que u2 = u1 + r = (u0 + r) + r, que u3 = u2 + r = (u0 + 2r) + r. Donc, on peut dire que un = un-1 + r, et ainsi de manière générale, un = (u0 + (n – 1)r) + r = u0 + nr.

En ce qui concerne les variations d’une suite, il y a une propriété aussi remarquable qu’intuitive, pour une suite arithmétique de raison r, lorsque r > 0, alors la suite est croissante, et lorsque r < 0, la suite est décroissante.

Par exemple, on fait un+1 – un = un + r – un = r.

– Si r > 0 alors un+1 − un > 0 et la suite (un) est croissante.
– Si r < 0 alors un+1 − un < 0 et la suite (un) est décroissante.

Si on prend un exemple concret, tel que un = 5 − 4n, on peut affirmer que cette suite est décroissante car sa raison est -4. Sur un graphe, voilà à quoi ressemble cette suite :

Une suite arithmétique étant entièrement définie par son premier terme u0 et sa raison, on peut définir que $u_{n}=u_{p}+(n-p)r.$ avec (un) le terme général et (up) est le terme initial. Il est pratique de se servir de cette formule lorsque par exemple, nous cherchons r. Par exemple, il suffit d’isoler r –> r = (un – up)/(n – p).

Penchons nous à présent sur les suites de type « géométrique », que sont elles ?

Elles sont similaires aux suites arithmétiques, mais ont cette différence que la raison d’une suite géométrique est la multiplication des termes par cette dernière et non l’addition. Disons le autrement, une suite géométrique est une suite de nombres dans laquelle chaque terme permet de déduire le prochain, en le multipliant par la raison.

On peut décrire la forme d’une suite géométrique de cette manière : $a,\ aq,\ aq^{2},\ aq^{3},\ aq^{4},\ \ldots$

On peut écrire une suite géométrique sous une forme de récurrence, tel que pour chaque entier naturel n : $u_{n+1}=q\times u_{n}\ ;\ \ u_{0}=a$ .

Les suites géométriques ont probablement les applications les plus intéressantes, tel que par exemple, représenter la décroissance radioactive du carbone 14. Nous n’allons pas rentrer dans les détails ici car nous verrons la décroissance radioactive dans le chapitre consacré à la radioactivité et l’interaction faible.

Le terme général d’une suite géométrique pour tout n naturel, est $u_{n}=u_{0}q^{n}$ . Une suite géométrique est entièrement déterminée par son terme initial et sa raison.

Par exemple, si un = 5 × 3n, alors, u2 = 5 × 3^2 = 45.

Tout comme les suites arithmétiques, une suite géométrique peut aussi se calculer à partir d’un rang quelconque n0, avec $n \geq n 0,$ grâce à la formule : $u_{n}=u_{n_{0}}q^{n-n_{0}}$ .

Voici une illustration de ce qui se passe, avec n0 = p :

En ce qui concerne les propriétés de variations des suites géométriques, on va admettre ici que u0 est non nul, s’en suit :

Si q < 0, la suite n’est pas monotone et oscille alternativement entre nombres négatifs et nombres positifs. On dit que la suite est « alternée ».

Si q est compris dans l’intervalle [0;1[, et si u0 > 0, alors la suite est décroissante positive, et si u0 < 0, la suite est croissante négative.

Si q est compris dans l’intervalle ]1;+∞[, et si u0 > 0, la suite est croissante positive, si u0 < 0, la suite est décroissante positive.

Si enfin, q = 1, la suite est constante.

Sommes de termes consécutifs :

Il existe une façon, ou plutôt une formule, pour calculer la somme des n premiers termes d’une suite.

Tout d’abord, penchons nous sur le cas d’une suite arithmétique.

Si on veut calculer la somme des n premiers termes d’une suite arithmétique, on pose :

S (somme des n premiers termes) = nombre de termes × (premier terme + dernier terme)/2, soit S = (n+1) × (u0 + un)/2. Par exemple, la somme des n tel que un = 1 + 2 + 3 +… + 100 = (100 × 101)/2 = 5050.

Autre exemple : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 68 = 69 × 68/2. 69 étant n + 1, et 68 étant un + un (0 + 68).

De manière analogue, il est possible d’utiliser cette formule même lorsque le premier terme considéré n’est pas le premier terme de la suite, exemple : u12 + u13 + … + u34 = 23 × (u12 + u34)/2. Le 23 étant (34 – 12 + 1).

Qu’en est il de la somme des n premiers termes d’une suite géométrique ?

Le principe est le même que pour les suites arithmétique.

Pour toute suite géométrique de raison q ≠ 1, la formule s’écrit : $\sum _{k=0}^{n}u_{k}=u_{0}+\cdots +u_{n}=u_{0}(1+q+\cdots +q^{n})=u_{0}{\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}\ \ (q\neq 1)$ .

Prenons un exemple, si on prend la somme de la suite S = 3 + 3² + 3^3 + 3^4 + … + 3^13, alors, selon la formule, on peut l’écrire : (1 – 3^14)/(1 – 3) – 1.

Pourquoi avons nous rajouté ce « -1 » ? La réponse est simple, dans la suite que nous avons pris pour exemple, le premier terme est absent, nous l’avons donc rajouté de tel sorte que S = 1 + 3 + 3² + 3^3 + 3^4 + … + 3^13. Mais nous n’avons pas le droit d’ajouter une valeur de cette manière, nous l’enlevons donc ensuite : S = 1 + 3 + 3² + 3^3 + 3^4 + … + 3^13 – 1. Etant donné que S = 1 + 3 + 3² + 3^3 + 3^4 + … + 3^13 = (1 – 3^14)/(1 – 3), alors S = 1 + 3 + 3² + 3^3 + 3^4 + … + 3^13 – 1 = (1 – 3^14)/(1 – 3) – 1.

De manière analogue, on peut utiliser cette formule lorsque le premier terme considéré n’est pas le premier terme de la suite géométrique, exemple : u12 + u13 + u14 + … + u34 = u12 × (q^23 – 1)/q – 1, avec q^23 étant (34 – 12 + 1).

Suites arithmético-géométriques :

Il existe un troisième type de suite que nous n’avons pas encore vu, et qui n’est autre que la combinaison des deux autres. Une suite arithmético-géométrique est une suite, tel que, s’il existe deux éléments a et b non nuls, appartenant à ℝ ou ℂ, et qui vérifie la relation suivante : $\forall n\in \mathbb {N} ,~u_{n+1}=au_{n}+b.$

Lorsque a = 1, que remarquons nous ? Eh bien, nous avons dans ce cas là, à faire à une suite arithmétique, un+1 = un + r. De manière analogue, lorsque b = 0, nous nous retrouvons avec une suite géométrique, un+1 = q × un.

Si en revanche, a ≠ 1, c’est une autre histoire. Il faut procéder de cette manière :

Remplaçons un par x. Si on remplace un par x, l’équation devient x = ax + b, ensuite, on a x – ax = b, puis, x(1 – a) = b, et pour finir, x = b/1 – a.

Deuxième étape, nous allons considérer une deuxième suite, vn, tel que vn = un – b/1-a. Donc, vn+1 = un+1 – b/1-a. Donc, vn+1 = aun + b – b/1-a. Si on met les lettres ensemble, on a vn+1 = aun + (b(1 – a) – b)/1-a. Ensuite, on développe, ce qui nous fait vn+1 = (b – ab – b)/1-a. Donc, si on simplifie, on a vn+1 = aun – ab/1 – a.

A présent, si on factorise par a, cela nous donne vn+1 = a(un – b/1-a). Mais qu’est ce que un – b/1 – a ? Eh bien ce n’est autre que la suite (vn) elle même, donc on en déduit que vn+1 = avn. Nous avons démontré, que la suite (vn) est une suite géométrique de raison a tel que vn+1 = avn.

En quoi cela nous avance par rapport à la suite (un) ? Eh bien, en faisant ceci, nous avons également démontré que nous pouvons exprimer (vn) en fonction de (un), car v0 = uo – b/1-a. Nous pouvons dire également de manière générale (avec la formule sur les suites géométriques) que vn = vo × q^n. Puisque « a » est la raison, on peut l’écrire également de cette manière : vn = vo × a^n.

Nous avons à présent les éléments pour exprimer (un) en fonction de (vn), car si vn = un – b/1 – a, alors un = vn + b/1 – a. Nous connaissons (vn) ! Nous l’avons démontré plus haut ! A présent, il suffit de remplacer (vn) par ses valeurs, et nous aurons exprimé la terme général de la suite (un) tel que un = vo × a^n + b/1 – a. Que vaut v0 ? Nous également l’avons trouvé plus haut, v0 = u0 – b/1 – a, donc, un = (u0 – b/1 – a) × a^n – b/1 – a.

Suites bornées, majorées et minorées :

Qu’est ce qu’une suite majorée ? minorée ? bornée ? En fait, dire qu’une suite est majorée, veut dire que, quelque soit le terme de la suite que nous choisissons, ce dernier ne dépassera jamais une certaine valeur « M »(son majorant), par exemple, la suite un = (-1)^n est majorée, et son majorant est 1, mais cette suite est aussi minorée, car quelque soit le terme de cette suite, il ne dépassera jamais -1 non plus. Une suite minorée est une suite qui, peut importe le terme que l’on prend ne prendra jamais une valeur inférieure à son minorant. Lorsqu’une suite est à la fois majorée et minorée, on dit qu’elle est bornée. Représentons schématiquement ces différentes notions :

Une suite majorée, de majorant « M ».

Une suite minorée, de minorant « m ».

Une suite bornée, de borne inférieure « m » et supérieure « M ». Vous avez peut être remarqué que la suite (un) = (-1)^n est en réalité bornée. En effet, elle oscille entre -1 et 1 sans jamais les dépasser, ce qui fait que ces deux valeurs sont ses bornes. On exprime une suite bornée de cette façon : $\exists (m,M)\in \mathbb {R} ^{2}\quad \forall n\in \mathbb {N} \quad m\leq u_{n}\leq M$ .

Comment procède t-on pour démontrer qu’une suite est majorée ou minorée ? Il y a deux étapes. Tout d’abord, prenons une suite (un), telle que un+1 = 1/3un + 2, et u0 = 2 par exemple. Il va falloir démontrer par récurrence que cette suite est majorée par 3.

Première étape, l’initialisation, ou démontrer que l’affirmation qui dit que cette suite est majorée par 3 est vraie en n = 0. C’est le cas, u0 = 2, et 2 < 3.

Maintenant, démontrons l’hérédité, c’est à dire, en supposant qu’il existe un entier k (hypothèse de récurrence), tel que la propriété soit vraie, uk ≤ 3. Il faut également démontrer que cette propriété est vraie au rang k+1. Si c’est le cas, et que nous démontrons que la propriété est vrai au rang n = 0, au rang k, et au rang k+1, alors, nous aurons démontré que la suite est bien majorée par 3.

Posons uk ≤ 3. A présent, ajoutons 1/3 de part et d’autre, de tel sorte que 1/3uk ≤ 1/3 × 3. Donc, 1/3uk ≤ 1. Maintenant, ajoutons aussi « 2 » de part et d’autre : 1/3uk + 2 ≤ 1 + 2, donc 1/3uk + 2 ≤ 3. Mais, qu’est ce que 1/3uk + 2, eh bien, si on se réfère à la définition générale de la suite, 1/3uk + 2 = uk+1. Ça y est, nous venons de démontrer que uk+1 ≤ 3, ce qui nous permet d’affirmer par récurrence, que la suite (un), est bien majorée par 3.

A partir d’ici, quelques outils mathématiques supplémentaires sont nécessaires pour comprendre intégralement, telles que l’inégalité triangulaire ou encore la notion d’espaces métriques et les nombres complexes.

Cas particuliers de suites :

Nous allons voir ici quelques cas remarquables et particuliers de suites.

Tout d’abord, la suite de Cauchy :

Il est possible, grâce à ce que l’on appelle le critère de Cauchy, savoir si une suite converge vers une limite finie. Cela traduit en quelque sorte l’idée intuitive que les termes d’une série convergente doivent être très proche à partir d’un certain rang. On dit que (un) est une suite de Cauchy si elle répond au critère suivant :

$\forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall p,q\geq N\quad |r_{p}-r_{q}|<\varepsilon ,$ Qu’est ce que cela veut dire ? Cela veut dire que quelque soit un epsilon (intervalle infinitésimal), il existe un N, entier naturel, de sorte que quelque soit p et q supérieur à N, la distance entre les termes rp et rq soit inférieur à cet epsilon. Il est possible d’extrapoler en disant que toute suite de réels convergeant vers une limite finie est une suite de Cauchy.

Il est possible de démontrer le critère de Cauchy à travers l’inégalité triangulaire :

$\displaystyle \vert u_{n+k}-u_n\vert=\vert u_{n+k}-l+l-u_n\vert\leqslant \vert u_{n+k}-l\vert+\vert l-u_n\vert\;.$

Nous pouvons voir ici, qu’à partir de N, tous les termes de la suite se trouvent se trouvent de plus en plus proches les uns des autres, et que la distance entre chaque terme et la limite est plus petite qu’epsilon.

Pour aller plus loin, fixon ε > 0. Il existe un entier n0 à partir duquel $\vert u_n-l\vert<\varepsilon /2$ , donc également $\vert u_{n+k}-l\vert\leqslant \varepsilon /2$ . Donc, pour tout n > n0 et pour tout $k\in \mathbb{N}$ , on a :

$\displaystyle \vert u_{n+k}-u_n\vert\leqslant \vert u_{n+k}-l\vert+\vert l-u_n\vert \leqslant \frac{\varepsilon }{2}+\frac{\varepsilon }{2}=\varepsilon \;.$ .

Il est également possible d’exprimer ce critère de cette manière :

$\lim _{p,q\to \infty }|r_{p}-r_{q}|=0.$ Ceci signifie que la distance entre deux termes p et q d’une suite, tend vers 0.

Cas des suites complexes :

Dans le corps des complexes, les suites se comportent différemment. Par exemple, on se parle pas de suite croissante, décroissante, majorée ou minorée. $\mathbb{C}$ n’est pas naturellement muni d’une relation d’ordre. On peut considérer une suite (Zn) comme une application de N (entiers naturels) vers C (complexes).

Nous savons que lorsque la notion de distance intervient, |x – y|, il ne s’agit pas de valeur absolue mais de module. En revanche, une suite complexe (Zn) peut être bornée, si pour tout , $\vert z_n\vert\leqslant M$ . Cette suite converge vers l (sa limite), si :

$\displaystyle \forall \varepsilon >0 ,\;\exists n_0 ,\;\forall n\geqslant n_0\;,\quad \vert z_n-l\vert\leqslant \varepsilon \;,$ qu’il faut comprendre de cette façon : Tous les termes de la suite restent dans un rayon ε autour de la limite à partir d’un certain rang n0.

Cette suite complexe convergente dans C, est la suite $(\mathrm {e}^{\mathrm {i}\pi /4}+ \mathrm {e}^{\mathrm {i}n/4}/n)$ .

Il existe un théorème important concernant les suites complexes : La suite (Zn), converge vers l dans C, si et seulement si les suites Re(Zn) et Im(Zn) convergent respectivement vers Re(l) et Im(l).

Un exemple plus concret maintenant, prenons la suite $\displaystyle z_n = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/4}+\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}n/4}}{n}\;.$

La partie réelle est $\displaystyle a_n = \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\cos(n/4)}{n}$ , pourquoi ? Si on s’en réfère aux propriétés de l’exponentielle complexe, on sait que e^iθ = cosθ + i sinθ. On sait aussi que cos(π/4) et sin(π/4) = √2/2. Pourquoi cos(n/4)/n ? Tout simplement car on parle ici de la partie réelle de la suite, par conséquent, on considère que i sinθ est nul dans l’égalité e^iθ = cosθ + i sinθ.

La partie imaginaire est $\displaystyle \quad b_n = \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sin(n/4)}{n}$ , de même que pour la partie réelle mais cette fois, de manière opposée, on considère que cosθ est nul, donc, il ne reste que la partie imaginaire.

Les deux suites convergent vers √2/2 et la suite (Zn) converge vers $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/4}$ car plus n est grand, plus ( $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/4}$ )/n tend vers 0. La figure ci dessus exprime cette suite, avec un epsilon de rayon 0.05 et une limite en $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/4}$ .

Vous devez maintenant être familiarisés avec les suites, si ce n’est pas le cas, voici une playlist de vidéos du même auteur que pour tous les autres chapitres de ce site, qui vous permettra sans doute, de mieux comprendre ces notions. Pour les suites de Cauchy et les suites complexes, voici une autre playlist.

Augustin Louis Cauchy (1789 – 1857), grand mathématicien francais, à l’origine des suites de Cauchy.

Suites :

Propriétés et généralités sur les suites et sommes :

Sommes de termes consécutifs :

Suites arithmético-géométriques :

Suites bornées, majorées et minorées :

Cas particuliers de suites :

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