Systèmes de coordonnées

Accélération

Après avoir calculé la vitesse dans les différents systèmes de coordonnées, nous procéderons de même pour calculer l’accélération.

accélération en coordonnées cartésiennes

L’expression en coordonnées cartésiennes ne pose pas de problème, nous utiliserons la notation double point pour la dérivée seconde par rapport au temps obtenant :

$\vec a(t) = \ddot x \vec e_x + \ddot y \vec e_y + \ddot z \vec e_z$

accélération en coordonnées cylindriques

$\begin{array}{rcl}\vec a(t) & = & \ddot r \vec e_r + \dot r \dot\theta \vec e_\theta + \dot r \dot\theta \vec e_\theta + r\ddot\theta \vec e_\theta - r\dot\theta^2 \vec e_r + \ddot z \vec e_z \\ & =& (\ddot r - r\dot\theta^2)\vec e_r + (2\dot r \dot\theta + r\ddot\theta)\vec e_\theta + \ddot z \vec e_z\end{array}$

Remarque, on écrit souvent cette expression d’une autre façon :

$\vec a(t) = (\ddot r - r\dot\theta^2)\vec e_r + \frac{1}{r}\frac{d}{dt}(r^2\dot\theta)\vec e_\theta + \ddot z \vec e_z$

accélération en coordonnées sphériques

De la même façon en calculant la dérivée de la vitesse, l’on calcule l’accélération en coordonnées sphériques obtenant :

$\begin{array}{rcl}\vec a(t) & = & (\ddot r - r\dot\theta^2 - r \dot\varphi^2 \sin^2 \theta)\vec e_r\\ & & + (2\dot r \dot\theta + r\ddot \theta - r \dot\varphi^2 \sin\theta\cos\theta)\vec e_\theta\\ & & (2\dot r \dot\varphi \sin\theta + 2 r \dot\theta\dot\varphi\cos\theta + r\ddot\varphi \sin\theta)\vec e_\varphi\end{array}$