Coordonnées et systèmes de coordonnées

Bonjour, aujourd’hui, nous allons parler de notions capitales en physique.
En effet, les systèmes de coordonnées sont des notions de mathématiques appliquées (appliquées ne signifie pas nécessairement difficile), qui sont au cœur de l’étude des phénomènes physiques.
Sans repères, il est impossible de déterminer comment tel ou tel phénomène évolue dans un milieu ou un système, il faut alors les définir, et pour cela, les concepts et les formalismes ont évolués dans le temps, pour définir des phénomènes et lois de plus en plus complexes. Les systèmes ont du également évoluer, par exemple, en relativité générale, ou aucun des systèmes de coordonnées connus jusqu’à lors ne satisfaisait pleinement la théorie.

Historiquement parlant, les premières notions de systèmes de coordonnées ont été introduite par René Descartes, dans son premier livre de géométrie et qui donna naissance à la géométrie analytique.

Voici comment nous allons partitionner ce chapitre, qui est un chapitre long, mais fondamental
Voici la première partie :

Base d’un système de coordonnées cartésiennes.
Définition de base orthonormée.
Coordonnées cartésiennes dans le plan.
Coordonnées cartésiennes dans l’espace.

Deuxième partie :

Coordonnées polaires.
Coordonnées sphériques.
Coordonnées cylindriques.

Base d’un système de coordonnées cartésiennes :

Pour bien se représenter ce qu’une coordonnée cartésienne est, on va tout de suite prendre un exemple. Imaginons qu’on veuille trouver la position dans un graphe d’un point $a = \lbrack{4;2}\rbrack$ .
Le premier nombre dans les crochets est $x$ et le second est $y$ :

Définition de la base orthonormée :

Une base orthonormée est une base composée de vecteurs de norme 1, et orthogonaux deux à deux. Cela signifie que chaque vecteur est perpendiculaire à l’autre.

Coordonnées cartésiennes dans le plan :

A quoi servent les coordonnées ? Des coordonnées servent à déterminer la position d’un point dans un plan ou dans l’espace. Evidemment, le mot cartésien vient du mathématicien et philosophe René Descartes tel que nous l’avons évoqué plus haut.

Il existe d’autres moyens de déterminer la position d’un point sur le plan ou dans l’espace, et nous les verrons, mais avant tout, commençons par les coordonnées cartésiennes.

Alors, soit $R\left(O,x,y\right)$ un repère cartésien, d’origine $O$ , et d’axes rectangulaires $Ox, Oy$ tel que $\left(Ox\perp{Oy}\right)$ (le signe $\perp$ signifie perpendiculaire à).
Donc, un point $M$ dans le plan, peut être repéré par ses coordonnées cartésiennes par exemple $\left(x,y\right)$ tel que le vecteur position $\overrightarrow{OM}=x_{i}+y_{j}$