Ensembles et applications

Bonjour, aujourd’hui, nous allons voir ce qu’est un ensemble, une application, et d’autres formalismes encore.
Ces notions sont très importantes, car elles définissent les relations entre les fonctions, permettent de construire les ensemble de nombres, de structurer ces ensembles, les pourvoir de lois plus ou moins strictes, et d’établir des relations entre ces derniers.

Voici l’ordre dans lequel nous vous proposons de lire ce chapitre :

Ensembles, propriétés, relations entre ces derniers et règles de calculs algébriques.
Applications/Compositions de fonctions.
Injections, surjections et bijections.
Ensembles finis et cardinaux.
Relation d’équivalence.

Ensembles :

Propriétés :

Qu’est ce qu’un ensemble ? Un ensemble est en quelque sorte, une collection d’éléments.
Par exemple : {0,1}, {rouge,noir}, etc…

On peut donner quelques exemples d’ensembles :

Les nombres entiers naturels ℕ : {0,1,2,3,4…}.
Les entiers relatifs ℤ : {-1,-2,1,0,2,…}.
Les rationnels ℚ : {p/q, avec p ∈ ℤ et q ∈ ℕ et \ 0 (qui signifie privé de 0, car le 0 ne peut pas apparaître sous forme de fraction).
Les nombres réels $\mathbb {R}$ : 1, √2, π, ln(2) etc…
Les nombres complexes ℂ.
L’ensemble vide ∅ : ne contenant aucun élément.

Peut on dire que deux ensemble sont égaux ? Oui, on parle d’égalité d’ensembles.
On dit que E = F, si E ⊂ F et F ⊂ E.

Parlons d’inclusion, qu’est ce qu’une inclusion ? On parle d’inclusion E ⊂ F si tout élément de E est aussi élément de F.
Autrement dit : x ∈ E (x ∈ F). On peut dire à ce moment là, que E est un sous ensemble de F, ou que E est une partie de F.

Comment peut on définir l’ensemble des parties d’un ensemble E ? On dit simplement que P(E) = Ensemble des parties de E.

Exemple : Si E = {1,2,3}, P({1,2,3}) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}

Relations entre plusieurs ensembles :

Complémentarité : On dit que deux ensembles sont complémentaires si A ⊂ E, alors CEA = { x ∈ E | x ∉ A }. Autrement dit, si A est une partie d’un ensemble E, le complémentaire de A dans E est l’ensemble des x dans E qui n’appartiennent pas à A. On peut illustrer ceci de cette manière :

L’ensemble A :

Le complémentaire de l’ensemble A :

Union : On note l’union de deux ensembles A ∪ B, si { x ∈ E | x ∈ A ou x ∈ B }. Autrement dit, si on a deux parties A et B d’un ensemble E, alors A union B est l’ensemble des x appartenant à A ou bien à B. On illustre l’union de deux parties d’un ensemble de cette manière :

A noter qu’un élément de l’union peut appartenir à la fois à la partie A et à la partie B.

Intersection : l’intersection de A et B se note : A ∩ B = { x ∈ E | x ∈ A et x ∈ B }. On dit que A inter B, est l’ensemble des x appartenant à A et à B et on illustre cela de la sorte :

Quelques règles de calculs algébriques d’ensembles :

*Propriétés importantes : Nous ne l’avons pas précisé plus haut, mais les règles de commutativité, de distributivité, d’associativité et d’idempotence s’appliquent aux opérations d’ensembles.
L’idempotence signifie que la réunion d’un ensemble quelconque avec lui même redonne le même ensemble ( $A\cup A=A$ ).

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C. :

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C.

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

C( $\complement A$ ) = A. Le complémentaire du complémentaire de A est A. Cela n’est pas sans rappeler le conjugué du conjugué d’un nombre complexe, qui donne le nombre complexe lui même.
A ⊂ B si et seulement si B^c ⊂ A^c . (Le petit c en indice est une autre manière d’écrire le complémentaire d’un ensemble)
(A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c :

En effet, le complémentaire d’un ensemble signifie prendre tout sauf l’ensemble en question, l’intersection de A et B étant la partie blanche, prendre le complémentaire signifie prendre tout le reste.

(A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c :

Applications :

Propriétés et définition :

Une application (ou une fonction) f de E –> F, c’est le fait de définir pour chaque élément de x dans E, un unique élément de F noté f(x). Ceci peut vous paraître trivial et simple, mais nous allons voir que certaines subtilités ne le sont pas autant que ça. Voici comment on pourrait illustrer une application quelconque d’un ensemble A dans un autre ensemble B :

De manière analogue, l’application de x et son image f(x) d’une fonction quelconque :

On parle d’égalité f = g, donc de l’application f, g F –> E si et seulement si pour tout x ∈ E, f(x) = g(x).

Compositions de fonctions :

Le procédé de composition de fonctions est assez intuitif, il consiste à créer une fonction à partir deux fonctions quelconques f et g. On utilise alors, les images de la première fonction comme arguments pour la seconde (l’argument est la donnée numérique x, qu’il faut fournir à la fonction f, et qui retourne la valeur f(x)).
Si on prend un ensemble X, et deux fonctions f et g dans cet ensemble, alors on dit qu’on effectue g rond f qui se traduit par :

$g\circ f$ —> $\forall x\in X,\ (g\circ f)(x)=g(f(x)).$

On peut également ceci de cette manière :

Prenons un exemple :
On a f défini sur ]0,+∞[ –> ]0,+∞[ et g défini sur ]0,+∞[ –> $\mathbb {R}$
x –> 1/x x –> x – 1/x + 1

Alors $g\circ f$ : ]0,+∞[ –> $\mathbb {R}$ vérifie :

$g\circ f$ (x) = g(f(x)) = g(1/x) = (1/x) × (x – 1/x + 1) = 1 – x/1 + x = -g(x).

Les propriétés des compositions de fonctions :

$f\circ g\neq g\circ f.$ On dit que la composition de fonctions est généralement non commutative. Pour rappel, la commutativité est une loi de composition interne d’un ensemble (les nombres réels par exemple), et exprime la possibilité d’inverser un ordre opératoire. Par exemple, la multiplication de deux nombres réels est commutative, le produit de a par b peut aussi s’écrire, produit de b par a. En revanche, si on prend la soustraction par exemple, a – b ≠ b -a. La soustraction n’est pas commutative.
$f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h.$ La composition de fonction est associative. L’associativité est aussi une loi de composition interne sur un ensemble. Par exemple, si la loi d’associativité est vrai, alors $(x\star y)\star z=x\star (y\star z)$ . En revanche, on peut noter que la soustraction n’est pas associative, par exemple: $(30-20)-10=10-10=0$ et $30-(20-10)=30-10=20$ .
$f\circ (g\star h)\neq (f\circ g)\star (f\circ h).$ Un autre propriété des composées de fonctions est qu’elle ne sont généralement pas distributive, c’est à dire qu’elles obéissent pas au terme « le produit d’une somme est égal à la somme des produits » . Par exemple, 2 × (5 + 3) = (2×5) + (2×3). Le 2 est bien distribué à chacun des deux terme et l’égalité est donc bien vérifiée.
Si la fonction g est continue en en x0 (point arbitraire), et la fonction g(x0), alors $f\circ g$ est continue en x0.
Lorsqu’on compose deux fonctions f et g strictement monotones (une fonction monotone est une fonction qui croit ou décroit strictement): Si f et g ont le même sens de variation, leur composée est strictement croissante, si les deux fonctions ont des sens de variations différents, leur composée sera strictement décroissante.
Il est possible de dériver une composée de fonction, et ceci s’écrit de cette manière : $(f\circ g)'=(f'\circ g)\cdot g'.$
La réciproque* d’une composée de fonction s’écrit $(g\circ f)^{{-1}}=f^{{-1}}\circ g^{{-1}}.$

Image directe et image réciproque :

Soit une fonction f : E –> F et A ⊂ E.

L’image directe de A par f est l’ensemble f(A) = { f(x) | x ∈ A }. On peut l’illustrer de cette manière :

De cette manière également sur un graphe lorsqu’il s’agit d’une fonction :

Effectivement, on voit que l’image de f(A), sa projection correspond à toutes les valeurs de f(x) pour f(A), avec x ∈ A.

Exemple, on prend la fonction qui à f(x) associe x², on prend un ensemble A, sur un intervalle ]-1,2], et on va essayer de trouver les images directes de x sur cet intervalle :

Que peut on constater ? Pour x = -1, f(x) = 1, pour x = 0, f(x) = 0, pour x = 1, f(x)= 1 et pour x = 2, f(x) = 4.
Donc on va écrire que f(A) = [0,4], car les valeurs de l’image de x dans A, varient entre 0 et 4.

Image réciproque :

Soit une fonction f : X –> Y et B ⊂ Y.
L’image réciproque de B par f est l’ensemble f^-1(B) = { x ∈ X | f(x) ∈ Y }. On schématise ceci de cette manière :

Exemple, pour schématiser cela par rapport à une fonction, on va reprendre le même cas de figure que pour l’image directe.
On va considérer la fonction f(x) = x², prendre un ensemble B, qui sera défini sur l’intervalle [4,9[, et nous allons essayer de trouver les images réciproques.

Vous avez peut être déjà remarqué quelque chose, en effet, cette fois, on ne se base plus par rapport à x mais par rapport à y.
Comment peut on définir f^-1(B) ? Eh bien, on regarde la valeur de y lorsque la fonction varie entre 4 et 9, tout simplement. Lorsque y = 4 par exemple, x = [-2,2], lorsque y = 9, x = [-3,3]. Donc, On peut écrire que f^-1(B) = ]-3,-2] ∪ [2,3[. Pourquoi les bornes sont elles ouvertes à -3 et 3 ? Tout simplement car dans l’intervalle initiale [4,9[, la borne à la valeur 9 est ouverte.

A présent, voyons ce qu’est un antécédent. C’est une notion simple et que vous avez peut être déjà vu.
Fixons y ∈ F. Tout élément x ∈ E tel que f(x) = y est un antécédent de y. Par exemple, si on schématise cela :

Injections, surjections et bijections :

Commençons par les les fonctions injectives.

Soit f, une fonction de E dans F. On dit que cette fonction est injective si pour tout x, x’ ∈ E, avec f(x) = f'(x), alors x = x’.
Autrement dit, ∀x, x’ ∈ E (f(x) = f'(x)) ⇒ x = x’.
On peut dire aussi qu’une fonction f est injective, si et seulement si tout élément y de F à au maximum un antécédent (Éventuellement aucun). On peut représenter une fonction injective de cette manière, en deux exemples qui sont les deux cas de figure possible :

Prenons un exemple, soit la fonction f1, de N dans Q. f1(x) = 1/1+x.
Elle est effectivement injective, pourquoi ? Si on a x, x’ dans N, tels que f1(x) = f1(x’), alors 1/1+x = 1/1+x’. De ce fait, 1+x = 1+x’, donc x = x’.

Voyons maintenant les fonctions surjectives.

Toujours de la même manière, on prend une fonction f, application de E dans F. On dit que cette fonction est surjective, si pour tout y ∈ F, il existe un x ∈ E, tel que y = f(x).
Autrement dit, ∀y ∈ F, ∃x ∈ E (y = f(x)).
On peut également dire que f est surjective si et seulement si tout élément de y à au moins un antécédent. Schématisons ceci :

Un exemple de fonction surjective de R dans R pourrait être y = 2x + 1. Pourquoi ? Car pour tout réel arbitraire, des solutions à cette équation d’inconnue x existent, par exemple, une solution peut être : x = (y – 1)/2.

Maintenant, voyons une fonction qui n’est ni injective, ni surjective :
Soit f2, application de Z dans N. f2 = x².
Tout d’abord, que peut on dire ? Est-ce là une fonction injective ? Non, car on peut trouver deux éléments différents x, x’ dans Z, tel que f2(x) = f2(x’). Par exemple, x = 2, et x’ = -2.
Elle n’est pas non plus surjective, pourquoi ? Car il existe des éléments y dans N qui n’ont pas d’antécédents… Par exemple, y = 3. Il faudrait satisfaire f2(x) = x² = 3, à ce moment là, x = ±√3. Mais √3 n’est pas dans Z, donc, la fonction n’est pas surjective.

Passons aux fonctions bijectives. Nous avons à présent les éléments pour définir ce qu’elles sont.
f est bijective, si elle est à la fois injective, et à la fois surjective.
Cela équivaut à écrire que : Pour tout y, ∈ F, il existe un unique x ∈ E, tel que y = f(x).
On peut dire, de manière plus mathématiques : ∀y ∈ F, ∃! x ∈ E (y = f(x)). Quelque soit y dans F, il existe un unique x dans E tel que y = f(x).

Des exemples de fonctions bijectives sont : La fonction logarithme, la fonction exponentielle, les fonctions affines quelconque, la fonction cube etc…
Voici un schéma des trois applications possibles (injection, surjection et bijection) :

Quelques propriétés d’une bijection :

L’application f : E → F est bijective, si et seulement si il existe g : F → E telle que f $\circ$ g = IdF* et g $\circ$ f = IdE*
f $\circ$ g = IdF signifie ∀y ∈ F f(g(y)) = y.
g $\circ$ f = IdE signifie ∀x ∈ E g(f(x))= x.
On peut définir, supposant que la propriété du dessus est vérifiée, que si f est bijective, alors g est unique et est également bijective. Elle est la bijection réciproque de f et est notée ƒ⁻¹ .
On peut également ajouter que ( ƒ⁻¹ )^-1 = ƒ.

Illustrons cette notion de bijection réciproque comme nous l’avons fait précédemment :

On voit que chaque élément de l’ensemble F par exemple, est relié à un seul et unique antécédent, et le fait d’appliquer la composition de f et g à cet antécédent, reviens à retomber sur la même valeur. Il en est de même pour une image de f de l’ensemble E.
Par exemple, si vous avez vu le chapitre sur les fonctions exponentielle et logarithme népérien, vous savez que l’une est bijection réciproque de l’autre. En effet, en traçant les deux fonctions sur un graphe, et en se référant sur la droite x = y, on voit bien que les deux fonctions sont symétriques, par conséquent, sont bijection réciproque l’une de l’autre :

Dernière propriété : Si f, application de F dans E, et g, application de E dans F, sont des applications bijectives l’une de l’autre, alors l’application g $\circ$ f est également bijective et $(g\circ f)^{{-1}}=f^{{-1}}\circ g^{{-1}}.$

Cardinal et ensembles finis :

Définition : Un ensemble E est fini si s’il existe n (nombre d’éléments) ∈ N ainsi qu’une bijection de E vers l’ensemble {1,2,3,…,n}.
Ce n est unique, et est appelé « cardinal » de E. On le note CardE.
*Attention, N n’est pas un ensemble fini, il existe une infinité de nombres dans le corps des entiers naturels.
En fait, par exemple, si vous avez un ensemble de 5 éléments, comme {1,2,3,4,5}, alors on dit que cet ensemble est de Cardinal 5.

Un autre exemple pour mettre en évidence la bijection, serait de prendre deux ensemble, l’ensemble {rouge,noir}, et l’ensemble {1,2}. Ces ensembles sont en bijections, donc CardE = 2.

A noter que le cardinal de l’ensemble vide Ø = 0.

Quelques autres propriétés :

Si A est un ensemble fini et B ⊂ A :

B est également fini et CardB ≤ CardA.
Card (A\B)* = CardA – CardB. *Le symbôle « \ » signifie « privé de ».

Si A et B sont deux ensemble finis :

S A ∩ B = Ø, alors Card (A ∪ B) = CardA + CardB.
Pour A et B, ensembles finis et quelconques, Card (A ∪ B) = CardA + CardB – Card(A ∩ B).

Soit E et F, deux ensembles finis et f l’application de E → F.

Si f est injective, alors CardE ≤ CardF.
Si f est surjective, alors CardE ≥ CardF
Si f est bijective, alors CardE = CardF.

Si CardE = n et CardF = p, alors le nombre d’applications différentes de E dans F est p^n.
Autrement dit, c’est (CardF)^CardE

Exemple, le nombre d’applications de E dans E est n^n, et si E = {1,2,3,4,5}, alors ce nombre est 5^5 = 3125.

Relation d’équivalence :

Une relation R, sur un ensemble E, revient à associer à tout couple (x,y) ∈ E × E, la valeur « vrai », s’ils sont en relation, et la valeur « faux » s’ils ne le sont pas.
On note xRy si x et y sont en relation.

Il existe trois types de relations d’équivalence :

La réflexivité : ∀x ∈ E, xRx

La symétrie : ∀x,y ∈ E , xRy ⇒ yRx

La transitivité : ∀x,y,z ∈ E , xRy et yRz ⇒ xRz

Dans un plan, on peut également appliquer la relation d’équivalence pour des droites :
La relation R, « être parallèle », est une relation d’équivalence pour l’ensemble des droites E du plan.

Réflexivité : Une droite est parallèle à elle même.
Symétrie : Si D est parallèle à D’, alors D’ est parallèle à D.
Transitivité : Si D est parallèle à D’ et D’ est parallèle à D », alors D » est parallèle à D.

Classe d’équivalence :

la classe d’équivalence de x ∈ E est cl(x) = {y ∈ E | yRx}

En Orange : La classe d’équivalence de x.
On voit bien que les valeurs sont liées entre elles par une relation d’équivalence, contrairement aux deux points rouges appartenant à la classe d’équivalence de x’.

L’ensemble cl(x) est un sous ensemble de E, qu’on peut aussi noter x barre.
Si y ∈ cl(x), alors on dit que y est un représentant de cl(x).

On fait les propositions suivantes :

xRy ⇔ cl(x) = cl(y)
Pour tout x,y ∈ E, cl(y) ou cl(x) ∩ cl(y) = Ø.
Soit C, un ensemble de représentant de toutes les classes, alors {cl(x) | x ∈ C }

Pour finir, parlons de partition. Qu’est ce qu’une partition ?

Une partition de E, est un ensemble de {Ei} parties de E, tel que :
E = ∪iEi et Ei ∩ Ej = Ø (si i ≠ j) :

Ce chapitre est terminé, cependant, celui sur l’analyse combinatoire et le dénombrement est une suite indirecte de ce dernier.
Si vous n’avez pas compris des notions abordées dans cette page, je vous invite à jeter un œil à cette playlist ainsi qu’aux vidéos d’exercices et d’applications.

Georg Cantor (1845-1918), créateur de la théorie des ensembles, mettant en valeur l’importance de la bijection, qui définit les ensembles finis et les ensembles bien ordonnés.