Systèmes de coordonnées

Opérateurs vectoriels du second ordre

Dans la physique, il intervient des opérateurs d’ordre 2, c’est-à-dire des compositions d’opérateurs vectoriels. Il est intéressant de rappeler quelques résultats ici.

Composition de gradient, divergence, rotationnel

L’on pourra vérifier que :
$\left\{\begin{array}{l} \vec\nabla\cdot(\vec\nabla\times\vec E) = 0\\ \vec\nabla\times(\vec\nabla f) = \vec 0\end{array}\right.$
En effet, si un vecteur dérive d’un rotationnel, alors sa divergence est nulle (la divergence d’un rotationnel est nul). De la même façon si un vecteur dérive d’un gradient, alors son rotationnel est nul (le rotationnel d’un gradient est nul).

Une autre expression est également utile :
$\vec\nabla\times\left(\vec\nabla\times\vec E\right) = \vec\nabla\left(\vec\nabla\cdot\vec E\right) - \Delta\vec E$
où le Delta est le Laplacien que nous allons définir dans le paragraphe suivant.

Laplacien

Définition

Le Laplacien est un opérateur du second ordre correspondant à la divergence du gradient d’un champ scalaire.

Coordonnées Cartésiennes

$\Delta f = \displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}$

Coordonnées Cylindriques

$\Delta f = \displaystyle \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial f}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}$

Coordonnées Sphériques

$\Delta f = \displaystyle \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial f}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta\frac{\partial f}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}$