Fonctions trigonométriques

Bonjour,

Nous allons voir aujourd’hui ce qu’est la trigonométrie, détailler le plus possible les fonctions trigonométriques, et introduire les fonctions découlant des fonctions primaires (cosinus, sinus, tangente), comme les fonctions inverses ou hyperboliques. Vous avez déjà peut être vu la page consacrée aux principes de base de la géométrie, si ce n’est pas le cas, nous vous conseillons de consulter cette dernière, avant de continuer la lecture de ce chapitre.
Voici comment nous allons présenter les choses :

Mesure d’angles et radians.
Définitions des fonctions cos, sin et tan.
Propriétés des opérations sur cos, sin et tan.
Intégration et dérivabilité des fonctions cos, sin et tan.

Compléments :

Fonctions trigonométriques réciproques.
Fonctions trigonométriques inverses.
Fonctions et trigonométrie hyperboliques et leurs inverses.
Amplitude et pulsations.

Pourquoi de la trigonométrie et quel en est l’usage en physique ?
La trigonométrie est l’étude des fonctions dans un triangle, en considérant comme variable, les mesures d’angles. Nous étudierons ici les trois fonctions trigonométriques fondamentales, le sinus, le cosinus et la tangente, nous verrons également, en seconde partie de ce chapitre, les fonctions arcsinus, arccosinus, arctangente, qui sont les bijections réciproques des fonctions sinus, cosinus et tangente. Nous verrons ensuite leur inverse, la sécante, l’inverse du cosinus, la cosécante, l’inverse du sinus, et la cotangente, l’inverse de la tangente. Pour finir, nous verrons les fonctions hyperboliques : Le sinus hyperbolique, le cosinus hyperbolique, la tangente hyperbolique et leurs inverses.
La question est : à quoi servent ces fonctions en physique. La réponse est : elles sont vitales. Pourquoi ? Beaucoup de domaines de la physique, notamment la physique quantique, l’électromagnétisme, la mécanique, la mécanique ondulatoire, des fluides, etc… utilisent les ondes comme outil d’étude, de diagnostic, de référence. Les ondes sont parties intégrante de la physique, et les ondes sont le plus souvent « sinusoïdales », en rapport avec le comportement de la fonction sinus…

D’un point de vue historique, les traces d’études les plus anciennes des fonctions trigonométriques datent du 8ème siècle avant J-C, ensuite, c’est au XVIII ème siècle, et à Leonard Euler que nous devons leur considération analytique.

Mesure d’angles et radians :

Un triangle quelconque possède 6 parties. 3 cotés et 3 angles, il n’est pas nécessaire de connaître toutes ces parties pour construire ce triangle, par exemple, il suffirait de connaître la longueur de deux de ses côtés et l’angle entre ces côtés pour le compléter. En revanche, il est impossible de faire la même chose en ne connaissant que les trois angles, car il existe une infinité de triangle ayant les trois mêmes angles. La condition est donc de connaître 3 des parties du triangle, dont au moins un côté pour la construction de ce dernier.

Le but de la trigonométrie est de « résoudre » les triangles, les arcs de cercles ont pour centre un sommet du triangle, les arcs sont remplacés par les segments de droites dont ils dépendent, qu’on appelle les lignes trigonométriques. Ces lignes trigonométriques sont en fait les fonctions trigonométriques (sinus, cosinus, tangente…). Des relations entre les côtés et certaines lignes liées aux arcs s’établissent de manière à ce qu’on puisse déterminer les lignes à partir de certains arcs, et réciproquement. Les conventions modernes oblige à considérer que les lignes trigonométriques étudiées, le sont sur un cercle de rayon 1, nous verrons pourquoi.

Voici un schéma de toutes les fonctions trigonométriques connues, nous rappelons que nous n’étudierons qu’en détails le sinus, le cosinus et la tangente. Attardez vous sur le triangle rectangle formé par cos, sin et 1, c’est une propriété importante, que nous détaillerons :

Les mesures des angles en trigonométrie sont en radians, et pour obtenir le radian, il faut faire le produit de l’angle en degré avec $\pi$ , et diviser par 180. La formule exacte est :

$\theta_{rad}= \theta_{deg} \times \frac{\pi}{180}$ .

avec $\theta$ (theta), la valeur de l’angle considéré.

Nous avons vu sur la page « Géométrie et vecteurs » à quoi correspondait l’hypoténuse, le côté adjacent et le côté opposé dans un triangle rectangle, ainsi que le le sinus, cosinus et tangente par rapport à ces côtés, nous irons donc directement aux définitions des fonctions trigonométriques par rapport au cercle unité.

Le cercle trigonométrique permet de définir les fonctions trigonométriques pour tous les réels positifs ou négatifs et pas seulement pour des angles de mesure en radians compris entre 0 et $\frac{\pi}{2}$ , en effet, $[0,\frac{\pi}{2}]$ représente l’intervalle du cercle unité, nous partons de 0 lorsque nous sommes en « COS ». lorsque nous effectuons un demi tour du cercle, nous nous trouvons à l’angle de valeur $\pi$ , si l’on continue pour faire à nouveau un demi tour, on se retrouve de nouveau au point de départ, autrement dit, nous avons parcouru 360°, donc un angle de $2 \pi$ . Attention, le sens trigonométrique est le sens inverse des aiguilles d’une montre, il est très important de se souvenir de cela.

A première vue, peut être est il difficile de comprendre ce schéma. Imaginez que nous soyons sur un repère orthonormé, que COS (cosinus) représente l’axe des x, et SIN (sinus) l’axe des y. Les segments de couleurs sont des projections des valeurs de cosinus et sinus sur le cercle trigonométrique. Les angles découlant de ces projections, sont notés à la fois en degrés et en radians. Notez que que les valeurs de sinus et cosinus ne varient uniquement qu’entre 0 et 1, le rayon du cercle unité valant 1. Que pouvons nous remarquer d’autre ? Nous pouvons remarquer que la circonférence du cercle en radians, est égale à $2 \pi$ , ce qui veut dire que lorsque nous ajoutons $2 \pi$ à n’importe quel angle ou valeur sur le cercle, nous retombons sur la même valeur, étant donné que nous en avons fait le tour complet. Prenons un autre exemple, que pouvons nous dire des valeurs de cosinus et sinus lorsque l’on prend un angle de $\frac{\pi}{6}$ ? Il suffit de regarder la projection en pointillés de cet angle sur l’axe des cosinus et sinus. La valeur de cosinus en $\frac{\pi}{6}$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ , et celle est sinus est $\frac{1}{2}$ .

Nous savons que $2 \pi$ représente un tour complet du cercle, mais que se passerait-il si nous n’ajoutions que $\pi$ au lieu de $2 \pi$ à l’angle que nous venons de voir ? Il suffirait simplement d’ajouter $\pi$ à $\frac{\pi}{6}$ et nous obtiendrions $\frac{ 7\pi}{6}$ car $\pi$ + $\frac{\pi}{6}$ = $\frac{7 \pi}{6}$ . Que se passe t-il alors sur le cercle ? Comme nous l’avons vu plus haut, en ajoutant $\pi$ , on effectue un demi tour de cercle, par conséquent, on se retrouve à l’opposé de la droite sur le cercle, de même que si nous ajoutions $\pi$ à l’angle $\frac{\pi}{2}$ , nous nous retrouverions en $\frac{3 \pi}{2}$ ou en $\frac{- \pi}{2}$ . Pourquoi $\frac{- \pi}{2}$ ? Il est tout à fait possible de considérer qu’un angle qui se trouve au dessous de l’axe du cosinus, peut être défini comme négatif, mais, pour faciliter la compréhension, nous laisserons ce formalisme de côté.

Il est important de se souvenir des valeurs de cosinus et sinus en fonction de l’angle auquel nous faisons référence, mais il va de soit qu’il est impossible d’apprendre par cœur une infinité de valeurs, en revanche, il est important de se rappeler de certaines valeurs remarquables :

Certaines valeurs sont très intuitives, il suffit d’observer le cercle, par exemple, lorsque l’angle est nul, qu’il vaut 0, la valeur de sinus est également 0. Il est facile de constater ceci, l’angle est nul, ce qui veut dire que la droite se confond avec l’axe du cosinus, et nous voyons bien que le sinus ne prend alors pas de valeur. Il en est de même lorsque l’angle vaut $\frac{ \pi}{2}$ ou 90°, la même chose se passe mais cette fois, de manière opposée, la droite de l’angle est confondue avec celle de l’axe du sinus, ainsi, cosinus prend la valeur 0.

Revenons sur le premier schéma représentant les fonctions trigonométriques, et attardons nous sur le triangle rectangle formé par le cosinus, le sinus, et le côté valant 1, étant aussi le rayon du cercle. Nous remarquons la corrélation avec le théorème de Pythagore et également une propriété très importante : $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$ .

Nous pouvons aller plus loin, grâce aux définitions des fonctions trigonométriques dans le triangle rectangle que nous avons vu dans la géométrie et les vecteurs, ainsi qu’au théorème de Pythagore, nous pouvons en déduire ceci :

$\sin \theta = \frac{y}{1}=y$ , $\cos \theta = \frac{x}{1}=x$ , $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ .

$y$ étant l’axe des ordonnées, 1, la longueur de l’hypoténuse, $x$ l’axe des abscisses.
On déduit immédiatement, grâce à l’équation du cercle unité ( $x^2+y^2=1$ ), la formule $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$ .

Définition des fonctions cos, sin et tan :

Fonction cosinus :

A présent, voyons plus en détails chaque fonction trigonométrique et ses propriétés, avec leur courbe respectives appelées « sinusoïdes » :

Ceci est la représentation graphique analytique de la fonction cosinus. Que peut on dire à son sujet ? D’une part, que c’est une fonction sinusoïdale, telle une onde, un signal, qui est sinusoïdal dans le temps. Cette fonction est périodique d’intervalle $2 \pi$ , c’est à dire que :

$\forall x \in \mathbb{R}$ , $\cos(x+2 \pi)=\cos(x)$ .

En réalité, cette propriété découle directement du cercle unité, regardez comment la fonction cosinus se comporte à partir de ce dernier :

Chaque fois qu’on effectue un tour de cercle, on effectue une rotation d’angle $2 \pi$ , ce qui veut dire qu’on revient au point de départ, donc, ajouter ou retirer $2 \pi$ ne change pas la valeur de $x$ .

Que peut t’on dire d’autre ? La fonction cosinus est paire , c’est à dire que $\cos (-x) = \cos (x)$ .
Par exemple, on sait que $cos(\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}$ , mais $cos(\frac{\pi}{3})=cos(\frac{ 5\pi}{3})=cos(- \frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}$ , donc, $\cos (-x) = \cos (x)$

Fonction sinus :

Voici maintenant la représentation graphique de la fonction sinus. Contrairement à la fonction cosinus, la fonction sinus est impaire, c’est à dire que : $\sin (- \alpha)= - \sin (\alpha)$ $2 \pi$

Au même titre que la fonction cosinus, il est possible de définir graphiquement la fonction sinus à partir du cercle unité :

Fonction tangente :

Contrairement à ses homologues, la fonction tangente est, certes périodique, mais, non seulement elle ne l’est pas sur $2 \pi$ mais uniquement sur $\pi$ , mais en plus, elle n’est pas continue. Elle est continue seulement sur un intervalle de $\pi$ , à chaque borne, sa limite n’est pas finie, elle tend soit vers $+ \infty$ soit vers $- \infty$ . Autrement dit, elle présente ce qu’on appelle des asymptotes (*) verticales, aux valeurs $\theta= \frac{\pi}{2} + k \pi$ (pour tout k entier) et s’annule pour tout multiple entier de $\pi$ . On peut également exprimer les limites pour chaque asymptote :

$\displaystyle{\lim_{\theta \to (\frac{\pi}{2})^-} \tan \theta}= - \infty$ et $\displaystyle{\lim_{\theta \to (\frac{\pi}{2})^+} \tan \theta}= + \infty$ .

Propriétés d’opérations des fonctions cosinus, sinus et tangente :

Avant d’aborder les propriétés de dérivabilité et d’intégration des trois fonctions, voyons quelques propriétés qui concerne l’addition et la multiplication d’arcs de ces fonctions entre elles.

Les deux formules principales pour l’addition sont :

$\cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B$

$\sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$ .

Si il s’agit de cos(A – B) ou sin(A – B) , le signe de l’autre côté de l’égalité serait simplement l’opposé, par exemple : cos(A – B) = cos A cos B + Sin A Sin B.

Pour la tangente, le résultat est moins évident, il faut développer l’expression :

On sait que $\tan(A)=\frac{ \sin(A)}{\cos(A)}$ , donc :

$\tan(A+B)=\frac{ \sin(A+B)}{\cos(A+B)}$

on connait la formule de $\cos(A+B)$ et $\sin(A+B)$ , on développe donc et on a :

$\tan(A+B)=\frac{ \sin(A) \cos(B) + \cos(A) \sin(B)}{\cos(A) \cos(B) - \sin(A) \sin(B)}$

On divise par $\cos(A)$ et $\cos(B)$ :

$\tan(A+B)=\frac{ \tan(A) + \tan(B)}{1-\tan(A) \tan(B)}$

Quelques propriétés supplémentaires :

$\cos(2a)=\cos(a+a)= \cos^2 a - \sin^2 a$
On sait que $\cos^2 + \sin^2 =1$ , donc $\cos^2=1-\sin^2$
On peut remplacer ceci dans la formule plus haut, pour avoir :
$\cos(2a)=1-\sin^2-(\sin^2 a)$ . Donc :
$\cos(2a)=1-2 \sin^2 a$

$\sin(2a)=\sin(a+a)=\sin a \cos a + \sin a \cos a= 2 \sin a \cos a$

$\tan(2a)=\frac{\tan a + \tan a}{1-\tan^2 a}=\frac{2 \tan a}{1-\tan^2 a}$
Nous avons simplement repris le modèle de $\tan(A+B)$

$\sin(3a)=\sin(2a+a)=\sin(2a) \cos a+ \cos(2a) \sin a$
On connait $\sin(2a)$ et $\cos(2a)$ :
$\sin(3a)=2 \sin a \cos a \times \cos a+ (1- 2 \sin^2 a) \times \sin a$
On sait ce que vaut $\cos^2$ , on remplace donc :
$\sin(3a)=2 \sin a (1- \sin^2 a) + (1- 2 \sin^2 a) \times \sin a$
Donc :
$\sin(3a)=2 \sin a -2 \sin^3 a - 2 \sin^3 a + \sin a=3 \sin a - 4 \sin^3 a$

$\cos(3a)=\cos(2a +a)= \cos(2a) \times \cos a- \sin(2a) \times \sin a$ .
$\cos(3a)= (1-2 \sin^2 a) \times \cos a- 2 \sin a \cos a \times \sin a$
$\cos(3a)= (1-2 (1-\cos^2 a)) \times \cos a- 2 (1- \cos^2a) \times \cos a$
$\cos(3a)= (1-2+ 2\cos^2 a) \times \cos a- 2 (\cos a - \cos^3 a)$
$\cos(3a)= -\cos a+ 2 \cos^3 a- 2 \cos a + 2\cos^3 a$
$\cos(3a)=- 3 \cos a + 4 \cos^3 a$

$\tan(3a)=\tan(2a+a)=\displaystyle{\frac{ \tan(2a) + \tan(a)}{1-\tan(2a) \tan(a)}=\frac{ \frac{2 \tan a}{1-\tan^2 a} + \tan(a)}{1-\frac{2 \tan a}{1-\tan^2 a} \tan(a)}}$

On simplifie en haut et en bas par $(1 - \tan^2 a)$ :

$\displaystyle{\tan(3a)=\frac{ 2 \tan a + (1-\tan^2 a) \tan a}{ (1-\tan^2 a)- 2 \tan a \tan(a)}}$
$\displaystyle{\tan(3a)=\frac{ 3 \tan a - \tan^3 a}{ 1- 3 \tan^2 a}}$

Ces formules sont à retenir, bien qu’elles ne soient pas très intuitives, elles sont tout de même importantes.

Dérivabilité et intégration des fonctions cosinus, sinus et tangente :

A présent que nous avons vu plus en détails les trois fonctions trigonométriques fondamentales, nous allons aborder l’intégration et la dérivation de ces fonctions. Si vous n’avez pas encore vu les pages dédiées à ces notions sur notre site (dérivation et intégration), il est préférable que vous les consultiez avant de continuer plus avant ici.

Dérivation :

Cosinus :
On connait la formule générale de dérivation :

$f'(x)=\displaystyle{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$ .

A présent, remplaçons les valeurs : cos(x + h) – cos(x)/h, or, on a vu que cos(A + B) = cos(A) cos(B) – sin(A) sin(B), donc cela devient : cos(x) cos(h) – sin(x) sin(h) – cos(x)/h. En simplifiant, et en mettant en facteur les fonctions qui nous intéressent :

On sait aussi que cosinus et sinus sont dérivables en 0 et de de dérivées respectives 0 et 1, donc :

Donc la dérivée de cos(x), nommée cos'(x) = – sin(x).

En ce qui concerne la dérivée de la fonction sinus ? C’est sin'(x) = cos(x). Tout comme pour la fonction cosinus, appliquons la formule de la dérivée pour sinus. Rappelons nous également de sin(A + B) = sin(A) cos(B) + cos(A) sin(B). et retranscrivons :

En factorisant par les fonctions qui nous intéresse :

On en déduit donc que :

On trouve bien que sin'(x) = cos(x).

Pour dériver la fonction tangente, c’est un peu plus long, car il faut s’appuyer sur la formule de dérivation de deux fonctions l’une avec l’autre, en effet la tangente est elle même le quotient des fonctions sinus et cosinus, il faut donc se servir f = u/v et sa dérivée f ‘ = (u’v – uv’)/v². On sait que tan(x) = sin(x)/cos(x).

On défini u'(x) = cos(x) et v'(x) = -sin(x). Donc on a :

Si on simplifie :

Donc, tan'(x) = 1 + tan²(x) ou encore 1/cos²(x).

Voyons maintenant comment intégrer cosinus, sinus et tangente, en commençant par cosinus, comme d’habitude. Nous allons voir, qu’en se basant sur le cercle trigonométrique, il existe une méthode très simple pour trouver la primitive de cos et sin. Regardez le schéma ci dessous :

En effet, trouver la dérivée et la primitive de cosinus et sinus revient simplement à effectuer un quart de tour dans le sens que nous voulons et qui en rapport avec ce que nous cherchons, par exemple, on peut voir que la dérivée de cos(x) est bien -sin(x), que nous avions démontré algébriquement plus haut. De même, on voit que la primitive de cos(x) = sin(x). N’oublions pas de rajouter la constante d’intégration. En détail, cela donne :

Qu’en est il du sinus ? C’est le même procédé, on voit que si l’on se sert du cercle trigonométrique, on trouve que la primitive de sin(x) = -cos(x). Si on exprime cela algébriquement, cela donne :

La tangente elle, est un peu plus compliquée car elle impose, une fois de plus, que nous utilisions un composée de fonctions. Nous savons que tan(x) = sin(x)/cos(x), donc, on peut écrire, grâce à nos connaissances : .
Nous avons le droit d’ajouter un signe moins devant l’intégrale, car nous l’avons transposé également dans la fraction, mais pourquoi ? En faisant cela, nous mettons en évidence une primitive de fonction usuelle : u’/u, et nous savons que la primitive de u’/u n’est autre que ln|u|. Par conséquent, la primitive de ∫tan(x) = -ln|u| + C, ou plus exactement, ∫tan(x) = -ln|cos(x)| + C.
On peut également se séparer du moins devant le terme, et selon la propriété du logarithme qui dit que -ln(a) = ln(1/a), l’équation devient alors : ∫tan(x) = ln|(cos(x))^-1| + C ou encore ∫tan(x) = ln|1/cos(x)| + C

Dérivées de fonctions trigonométrique de la forme cos(u), sin(u) et tan(u) :

Fonctions réciproques des fonctions trigonométriques :

Vous savez globalement ce qu’il y a à savoir sur les fonctions trigonométriques usuelles, la partie que nous allons aborder à présent se réfère à d’autres fonctions trigonométriques plus compliquées .
Nous allons parler des fonctions arctangente, arcsinus et arccosinus.

Les fonctions arc, telles arccos, arcsin et arctan, sont les fonctions réciproques des fonctions cos, sin et tan. Que sont ces fonctions ? Reprenons le cercle trigonométrique comme référence :

Lorsque nous projetons par exemple, la valeur π/4, et que nous voulons connaître son sinus, il suffit de lire sur le cercle trigonométrique pour avoir la réponse, en l’occurrence, sin(π/4) = √(2/2). Mais, qu’en est il si nous faisions les choses dans l’ordre inverse ? C’est à dire, d’essayer de trouver la valeur de l’angle, lorsque nous connaissons la valeur de son sinus, par exemple, sin = √(2/2) ? Eh bien, que remarquons nous ? Plaçons nous au point √(2/2) du sinus. Effectivement, on voit que la valeur renvoie π/4, mais également l’angle 3π/4, alors comment pouvons savoir du quel il s’agit ?

La fonction arcsinus :

En fait, cette fonction prend la valeur du sinus, et renvoie l’angle téta auquel associe ce sinus, mais, pas sur l’ensemble du cercle trigonométrique, seulement sur un demi cercle. Vous me direz, comment savoir de quel demi cercle nous parlons, eh bien, le choix fût en fait arbitraire, les mathématiciens réfléchirent, et se mirent d’accord pour définir le domaine de définition de la fonction arcsinus comme étant la partie droite du cercle trigonométrique, dont le domaine de définition est [-π/2;π/2]

La fonction arcsin, notée également sin⁻¹ , est en fait la bijection réciproque de la fonction sinus sur la restriction de l’intervalle [-π/2;π/2].

La dérivée de la fonction arcsin est :

$\arcsin 'x={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$ .

Comment démontrer ceci ?
On va définir la fonction arcsinus tel que arcsin(x) = g(x).
Donc, on peut dire que x = sin g(x). En effet, lorsque deux fonctions sont réciproques si x = f(g(x)).
La fonction arcsinus est une bijection de l’intervalle [-1;1] vers l’intervalle [-π/2;π/2].
Pour dériver arcsin, on va partir de la relation x = sin g(x), et la dériver terme à terme.
On a donc (x)’ = (sin[g(x)])’.
On sait que la dérivée d’une fonction composée s’écrit :
$(g\circ f)'=(g'\circ f)\times f'$
On peut donc poser 1 = g'(x) × sin'[g(x)].
On a donc 1 = g'(x) × cos[g(x)]. Ensuite, on divise les deux membres par g(x) :
g'(x) = 1/cos[g(x)].
Deux petits rappels : On sait que sin²[g(x)] + cos²[g(x)] = 1. On sait également que sin²[g(x)] = [sin[g(x)]². Mais que remarquons nous ? Comme vu plus haut, sin[g(x)] = x !
Donc, en se servant de sin²[g(x)] + cos²[g(x)] = 1 et en faisant passer le sin[g(x)] de l’autre côté, on a :
cos²[g(x)] = 1 – x².
cos[g(x)] = √(1 – x²). A présent, on peut remplacer la valeur de cos[g(x)] dans notre équation de g'(x) :
g'(x) = 1/cos[g(x)] = 1/√(1 – x²).
Donc, on a bien démontré que arctan'(x) = 1/√(1 – x²).

Remarque : Lorsqu’on prend une racine carrée, en principe, on doit écrire les deux racines (positive et négative), tel que arctan'(x) = 1/+√(1 – x²) ou arctan'(x) = 1/-√(1 – x²). Pourquoi ce n’est pas le cas ? Ici, on restreint l’étude à l’intervalle [-π/2;π/2], dans lequel la fonction cosinus est toujours positive.

Il faut ajouter que la fonction arcsin est définie sur [-1;1] (intervalle fermé), mais dérivable uniquement sur l’intervalle ouvert ]-1;1[ car 1/√(1 – x²) n’est pas définie pour x = -1 ou x = 1.

Voici le lien vers une vidéo courte mais très claire montrant le procédé si vous n’avez pas compris : https://www.youtube.com/watch?v=le1QG7VjU9M .

Graphiquement, la fonction arcsinus, définie sur [-π/2;π/2] ressemble à ceci :

La fonction arcsinus est également intégrable, et sa primitive est :
$\int \arcsin x\,\mathrm {d} x=x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C$ .

On peut démontrer ceci grâce à une intégration par partie (accrochez vous un petit peu) :

On veut donc résoudre l’intégrale de ∫arcsin(x) dx.
On va donc se servir du théorème de l’intégration par partie :
$\int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,\mathrm {d} x=[uv]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,\mathrm {d} x$
Le problème, c’est que nous n’avons qu’une seule fonction à intégrer… Ce n’est pas grave, nous allons faire comme si nous en avions deux, comment ?
On va poser u = arcsin(x) et dv = 1 × dx.
Ceci va nous aider, mais remplacer les valeurs ne suffira pas, il va falloir redéfinir certaines variables.
On va réécrire notre équation, selon le théorème d’intégration par partie : ∫udv = uv – ∫vdu.
Maintenant, on sait que u = arcsin(x), donc du (la dérivée de u) = arcsin'(x) = 1/√(1 – x²). Nous l’avions démontré plus haut.
On sait également que dv = dx, alors on peut écrire ∫dv = ∫dx donc v = x. En effet, la primitive de 1, ou de n’importe quelle constante est x.
J’espère que vous arrivez à suivre, ce que nous allons faire maintenant, c’est remplacer les termes dans l’équation initiale, en se servant du théorème de l’intégration par parties.

∫arcsin(x) dx = x × arcsin(x) – ∫x × 1/√(1 – x²) dx.
On va écrire la racine autrement, de telle sorte que x × arcsin(x) – ∫x × 1/√(1 – x²) dx = x × arcsin(x) – ∫x × 1/(1 – x²)^-½ dx.
On sait que ∫u × v’ = u × v – ∫u’ × v.
Donc, ∫arcsin(x) × x = arcsin(x) × 1 – ∫1/√(1 – x²) × x = arcsin(x) – ∫x/√(1 – x²) dx.

Il y a des choses à remarquer ici, ce n’est pas forcément évident. On va devoir procéder à une seconde intégration par partie en isolant ce terme : x/√(1 – x²) dx. Pour cela, on va substituer de nouveaux les termes. On va poser w = 1 – x². Ensuite, la dérivée de w, donc dw = -2xdx. Donc, -1/2dw = xdx

Réécrivons tout cela :
∫arcsin(x) dx = x arcsin(x) + 1/2∫1/√w dw. En effet, on a sorti le 1/2 de l’intégrale, car c’est une constante. le x est également redevenu « 1 », pourquoi ? Car -1/2dw = xdx, ayant déjà fait passer la constante 1/2 de l’autre côté, le x est inclus dans dw, donc pour rééquilibrer, on met 1/√w.

Ce calcul laborieux touche presque à sa fin, nous allons à présent réécrire l’intégrale complète, en modifiant l’écriture de la racine :
∫arcsin(x) dx = x arcsin(x) + 1/2∫w^-1/2 dw. Effectivement, on sait des propriétés des puissances que a^-x = 1/a^x.
∫arcsin(x) dx = x arcsin(x) + 1/2 (w^1/2)/1/2 + C. Comment avons nous trouvé ce résultat ? En utilisant la règle sur les puissances, poser w^-½ revient à poser (w^½)/½ . Donc, les 1/2 se simplifient. et on écrit :
∫arcsin(x) dx = x arcsin(x) + ~~1/2~~ (w^1/2)~~/1/2~~ + C = ∫arcsin(x) dx = x arcsin(x) + w^1/2 + C.

Par conséquent, ∫arcsin(x) dx = x arcsin(x) + √(1 – X²) + C.

Si vous souhaitez visionner les étapes des calculs, voici une vidéo les explicitant (en anglais).

La fonction arccosinus :

Le procédé est le même que pour la fonction arcsinus, il s’agit de choisir l’intervalle adéquate, et de démontrer qu’elle est la réciproque de la fonction cosinus sur cet intervalle, en l’occurrence, [0;π]. En effet, si on regarde ce que cela donne graphiquement :

On constate que, tout comme la fonction arcsin, la fonction arccos est définie sur un intervalle finie, en l’occurrence [0;π], et est dérivable en ]-1;1[. Elle aussi, prend une valeur de cosinus, et renvoie son angle, cependant, le problème est le même que pour la fonction arcinus, comment décider de cet angle, car lorsque nous avons par exemple une valeur de cos(x) = 1/2, cela nous renvoie deux angles sur le cercle trigonométrique, π/3 ou -π/3. Par conséquent, un choix arbitraire fût également fait par les mathématiciens, et l’intervalle choisit fût [0;π] :

La fonction arccosinus n’est définie que sur la partie supérieur du cercle trigonométrique (partie grisée sur le schéma). Sa dérivée est très similaire à celle de l’arcsinus, seul le signe change :
$\arccos '(x)={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.$

La démonstration est similaire à celle de l’arcsinus. On suppose que arcos(x) = g(x).
Donc, x = cos(g(x)), on pose donc (x)’ = [cos(g(x))]’.
Par la dérivée d’une fonction composée $(g\circ f)'=(g'\circ f)\times f'$ , on peut poser :
1 = g'(x) × cos'[g(x)]. On dérive et change les termes de place :
-g'(x) sin(g(x)) = 1. Donc :
g'(x) = -1/sin(g(x). On sait que sin²(g(x)) + cos²(g(x)) =1 . Donc sin²(g(x)) = 1 – x². En effet, on a vu que x = cos(g(x)), donc x² = cos²(g(x)).
Par conséquent, sin(g(x)) = √(1 – x²).
Si on reporte les valeurs sur notre équation g'(x) = -1/sin(g(x)), on a :
g'(x) = -1/√(1 – x²) ou arcos'(x) = -1/√(1 – x²).

Une autre démonstration du calcul de la dérivée d’arcos est visualisable ici : https://www.youtube.com/watch?v=9NccKpb6Gpo .

Tout comme l’arcsinus, la fonction arcosinus est également intégrable et sa primitive est :
$\int \arccos(x)~\mathrm {d} x=x\,\arccos(x)-{\sqrt {1-x^{2}}}+C.$

Démontrons ceci avec une intégration part parties, comme pour la fonction arcsinus.

Tout d’abord, on pose ∫arccos(x) dx = ∫1 × arccos(x) dx.
On pose u = arccos(x), dv = 1 × dx. Donc, du = -1/√(1 – x²) dx, et v = x.
A présent, en se servant du théorème sur les intégrales par partie, on peut écrire :
∫udv = uv – ∫vdu et en remplacant les valeurs, on a :
∫arccos(x) dx = arccos(x) × x – ∫x × -1/√(1 – x²) dx.
On va maintenant substituer de nouveau des valeurs. On va poser w = 1 – x², donc dw = -2xdx et dx = dw/-2x. L’écriture devient alors :
∫arccos(x) dx = arccos(x) × x – ∫-x/√w dw/-2x. Si on simplifie, on a :
∫arccos(x) dx = arccos(x) × x – ∫-1/√w dw/-2. On se retrouve donc avec l’intégrale :
∫arccos(x) dx = arccos(x) × x – ∫-1/√w dw/-2. On change l’écriture de la racine inverse :
∫arccos(x) dx = arccos(x) × x – ∫w^-1/2 dw/-2. Rappelez vous, x^-1/2 revient à poser (x^1/2)/1/2. On se débarrasse maintenant du dw/-2, en multipliant par 1/2, et on sort le 1/2 de l’intégrale :
∫arccos(x) dx = arccos(x) × x – ~~1/2~~∫(w^1/2)~~/1/2~~ dw. Si on effectue le calcul maintenant, on a :
∫arccos(x) dx = arccos(x) × x – w^1/2 + C. On a donc bien le résultat que l’on pose au départ :
∫arccos(x) dx = arccos(x) × x – √(1 – x²) + C.

Voici la vidéo détaillant le calcul : https://www.youtube.com/watch?v=qR6wi_byrlg .

La fonction arctangente :

Comme nous pouvons le deviner, la fonction arctangente est la fonction réciproque de la fonction tangente. Tout comme ses homologues, elle se définie sur un intervalle fini, [-π/2;π/2] et y = arctan(x) si et seulement si tan(y) = x, avec x et y dans ]-π/2;π/2[.

On définit l’arctangente d’un nombre réel comme étant la valeur d’un angle orienté dont la tangente vaut ce nombre. Si on trace la courbe x = y, on remarque bien que les deux fonctions tangente et arctangente sont réciproques l’une de l’autre :

Que peut on dire d’autre sur la fonction arctangente ? Elle est impaire, c’est à dire que :
$\arctan(-x)=-\arctan x$ .

La fonction arctangente est dérivable sur ℝ, contrairement à ses cousines, qui ne le sont que sur des intervalles finis, mais c’est tout à fait logique, si on résonne par l’absurde, on sait que les fonctions sinus et cosinus sont définies sur R, mais leurs réciproques ne le sont pas. En revanche, la tangente n’est pas définie sur R, sa réciproque, l’est donc en toute logique. Si on regarde le graphe de la fonction, on voit bien qu’elle est continue sur l’axe des abscisses :

La fonction tend vers -π/2 lorsque x tend vers -∞ et π/2 lorsque x tend vers +∞. Sa dérivée est
$\arctan '(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}$ .

Démontrons de nouveau que ceci est vrai :
Prenons f = tan(x) et f^-1(x) = arctan(x). On sait que [tan(arctan(x))] = (x) et donc [tan(arctan(x))]’ = (x)’
On va dériver, grâce à la formule de dérivée de fonctions réciproques :

Si on applique cette formule à notre équation, on a :
arctan'(x) = 1/tan'(x) × arctan(x). On sait que tan'(x) = 1 + tan²(x).
Donc, on a le droit d’écrire (termes du dénominateur) : tan'(arctan(x)) = 1 + tan(arctan(x))². Or, tan(arctan(x)) = x. Donc ;
arctan'(x) = 1/1 + x².

Si vous n’avez pas tout compris, je vous invite à regarder cette vidéo.

Il est également possible d’intégrer la fonction arctangente, et sa primitive est :

$\int _{0}^{x}\arctan t\;\mathrm {d} t=x\,\arctan x-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)$ .
Pour démontrer comment intégrer arctangente et trouver une primitive, nous allons devoir, encore une fois, utiliser l’intégration par parties.
On écrit donc ∫arctan(x) dx = 1 × arctan(x) dx. On pose u = arctan(x), dv = 1, donc du = 1/1 + x² dx, et v = x.
Donc, on a ∫arctan(x) dx = ∫1 × arctan(x) dx = arctan(x) × x – ∫x × 1/1 + x² dx. Si on rassemble les termes, on peut écrire :
∫arctan(x) dx = arctan(x) × x – ∫x/1 + x² dx. A présent, on va faire quelque chose qui va nous permettre de reconnaître une primitive usuelle. Si on multiplie par 2 ce qu’il y a dans l’intégrale, x/1 + x² va devenir 2x/1 + x². Ceci n’est pas sans rappeler une primitive usuelle de la forme u’/u, et cela va grandement nous faciliter la tâche. Attention, si on multiplie par 2 un terme, il faut multiplier ensuite par 1/2, ensuite, on sort ce terme de l’intégrale et on a :
∫arctan(x) dx = arctan(x) × x – 1/2∫2x/1 + x² dx. On connaît la pritimitive de u’/u = ln(u). Donc :
∫arctan(x) dx = arctan(x) × x – 1/2 ln(1 + x²) + C. On retrouve bien le résultat que nous voulions démontrer.

Voici encore une vidéo détaillant le procédé : https://www.youtube.com/watch?v=PrvJrUvj5Pk .

Fonctions trigonométriques inverses :

Attaquons nous à présent aux fonctions trigonométriques inverses. Tout simplement, les fonctions trigonométriques inverses sont les fonctions cos, sin et tan, lorsqu’on les inverse (qu’on leur applique la fonction 1/x).

La fonction sécante :

Elle est notée « sec » et est la fonction inverse de la fonction cosinus, autrement dit , sec(x) = 1/cos(x).

C’est également le rapport de la longueur de l’hypoténuse par rapport à la longueur du côté adjacent dans un triangle rectangle :
$\sec({\widehat {A}})={\frac {\mathrm {hypot{\acute {e}}nuse} }{\mathrm {c{\hat {o}}t{\acute {e}}\;adjacent} }}={\frac {h}{a}}$ .

Voici la représentation graphique de la fonction sécante :

La fonction sécante est paire sec(-x) = sec(x), c’est logique, puisque la fonction l’est : cos(-x) = cos x.
Elle est définie sur R, mais n’est pas continue. Elle possède des asymptotes verticales. On peut dire en revanche qu’elle est périodique, de périodicité 2π et renvoie des valeurs uniquement sur ]π/2;3π/2 + kπ[ avec k appartenant à Z.

La dérivée de la fonction sécante est sin(x)/cos²(x).
Il est possible de le démontrer. On pose sec'(x) = d/dx sec(x). On peut aussi poser d/dx sec(x) = d/dx (1/cos(x)). On va se servir des propriétés de dérivations de deux fonctions de la forme f/g, avec g = cos(x) et f = 1.
Donc, g’ = -sin(x) et f’ = 0. Si on applique la formule de la dérivée usuelle d’un quotient de deux fonctions (u’v – uv’/v²), on a :
(cos(x) × 0 – 1 (-sin(x)))/(cos(x))². Le cosinus du numérateur s’annule car multiplié par 0, et les deux « – » devant le sinus se transforme en « + », et on a :
1 × sin(x)/(cos(x))². Que voyons nous ? On voit que si on sépare en deux termes distincts cette fraction, on obtient deux termes pouvant se simplifier, en effet :
1/cos(x) × sin(x)/cos(x) = sec(x) × tan(x).
Donc, on a bien démontrer que sec'(x) = sec(x) × tan(x) ou sin(x)/cos²(x).

*Nous souhaiterions souligner qu’il existe plusieurs méthodes pour arriver au résultat, et ceci, pour toutes les démonstrations de dérivations et de calculs de primitives des fonctions trigonométriques que nous avons effectué sur cette page. Le choix concernant la méthode est arbitraire, car nous pensons à chaque fois qu’il s’agit de la plus simple, cependant, si vous ne partagez pas cet avis et que vous avez du mal à comprendre, une liste plus variée de vidéos démontrant ces calculs sera mise à disposition en fin de page.

Voici une vidéo qui démontre le calcul de cette dérivée (N’étant pas en mesure de trouver une vidéo en français montrant le calcul de la dérivée de la fonction sécante, nous nous excusons pour ceux n’étant pas familiers avec l’anglais…).

Le calcul de la primitive de la fonction sécante est également possible en faisant l’intégrale de la fonction 1/cos(x), le résultat est :
$\int \sec x\,\mathrm {d} x=\int {\frac {1}{\cos x}}\,\mathrm {d} x=\ln \left|\tan \left({\frac {x}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right|+C=\ln {\left|\sec x+\tan x\right|}+C$

Oulà ! Mais qu’est ce que c’est que cette intégrale compliquée ! Les étapes pour en arriver au résultat ne sont pas si compliquées, allez, Démontrons le !
Nous allons (encore une fois), découper cette intégrale et par conséquent utiliser la notion d’intégration par parties. Ce procédé devrait normalement commencer à vous être familier.
On pose ∫sec(x) dx. Ce que nous allons faire ici, c’est poser cela sous forme de fraction sec(x)/1, et multiplier en haut et en bas, par la dérivée de sec(x) (que vous connaissez) :
∫sec(x) dx = ∫sec(x) × (sec(x) × tan(x))/sec(x) × tan(x) dx. Jusque là, rien de bien compliqué. Maintenant, nous allons développer :
∫sec(x) dx = ∫sec²(x) + sec(x) + tan(x)/sec(x) × tan(x) dx. A présent, que faisons nous ? Vous le savez ? On va substituer les termes de la fraction, tels que u = sec(x) × tan(x) et u’ = sec(x) × tan(x) + sec²(x) dx. (sec(x) tan(x)) étant la dérivé de sec(x), et sec²(x) étant la dérivée de tan(x). Etant donné la distributivité, en posant « dx (sec²(x) + sec(x) + tan(x)) » = dx (sec(x) × tan(x) + sec²(x)) on se retrouve donc avec une primitive à calculer qui est de la forme u’/u, donc : ∫sec(x) dx = ln|sec(x) + tan(x)| + C ou, si on remplace les termes, ∫1/cos(x) dx = ln|1/cos(x) + tan(x| + C.

Voici également une vidéo montrant les étapes : https://www.youtube.com/watch?v=qMUmvfIoTsI .

La fonction cosécante :

Elle est également une fonction inverse, mais du sinus cette fois, elle s’écrit donc cosec(x) = 1/sin(x). Tout comme la sécante, elle est aussi périodique 2π mais impaire comme la fonction sinus ; cosec(-x) = -cosec(x). La fonction cosécante est également de la longueur de l’hypoténuse par la longueur du côté opposé :
$\csc({\widehat {A}})={\frac {\mathrm {hypot{\acute {e}}nuse} }{\mathrm {c{\hat {o}}t{\acute {e}}\;oppos{\acute {e}}} }}={\frac {h}{o}}$ .

Voici le graphe de la fonction cosécante :

La dérivée de la cosécante est cosec'(x) = -(cos(x)/sin²(x)) ou -cosec(x) × cotan(x).

Peut on démontrer ceci ? Oui, et nous allons le faire maintenant :
On pose cosec'(x) = d/dx cosec(x) = d/dx (1/sin(x)). On va poser u = 1, v = sin(x), u’ = 0, et v’ = cos(x). On va se servir de la propriété de la dérivée d’un quotient, car nous avons une dérivée de la forme (u/v)’.
On remplace : sin(x) × 0 – 1 × cos(x)/(sin(x))². On a donc :
-cos(x)/sin²(x). Ce que nous allons faire maintenant, c’est séparer ce terme en deux fractions, et essayer de reconnaître une valeur :
-cos(x)/sin(x) × 1/sin(x). Tiens donc, que voit on ? -cos(x)/sin(x) = -cotan(x), et 1/sin(x) = cosec(x), donc :
cosec'(x) = -cotan(x) × cosec(x), ou cosec'(x) = -cosec(x) × cotan(x).

Voici une vidéo (en anglais), détaillant le calcul de cette dérivée.

Une primitive de la fonction cosécante est : ∫cosec(x) dx ou ∫1/sin(x) dx = ln|tan(x/2)| + C.

Le calcul de la primitive de la cosécante est un petit peu plus compliqué que ce que nous avons vu jusqu’à présent, donc accrochez vous bien, nous détaillerons le plus possible les étapes.
Ce que nous allons faire, pour pouvoir opérer, c’est multiplier en haut et en bas par la dérivée de la cosécante, de telle sorte qu’on pose :
∫cosec(x) dx = ∫cosec(x) × (cosec(x) + cotan(x)/cosec(x) + cotan(x) dx. A présent, on va développer les termes :
∫cosec(x) dx = ∫cosec²(x) × (cosec(x) + cotan(x))/ cosec(x) + cotan(x) dx. Maintenant, on va poser u = cosec(x) + cotan(x), u’ = -cosec(x) + cotan(x) – cosec²(x) dx.
* Remarque : Nous n’avons pas encore parlé de la dérivée de cotan(x), que nous avons implicitement marqué comme étant cosec²(x). Il est compliqué de savoir par quelle fonction commencer, car chacune fait apparaître des propriétés de l’autre lorsqu’on les dérive on qu’on les intègre. Continuons :
On a donc u et u’, maintenant, on va poser que dx (ou x’) = u’/-cosec(x) + cotan(x) – cosec²(x). Ici, on a simplement basculé les termes de l’équation u’ = -cosec(x) + cotan(x) – cosec²(x) dx pour exprimer cette dernière en fonction de dx, et nous permettre de remplacer dx dans l’intégrale :
∫cosec(x) dx = ∫cosec²(x) + cosec(x) × cotan(x)/u × u’/-cosec(x) × cotan(x) – cosec²(x). On a le droit de factoriser par un moins, donc :
∫cosec(x) dx = ∫cosec²(x) + cosec(x) × cotan(x)/u × u’/-(cosec(x) × cotan(x) + cosec²(x)). On fait sortir le moins de l’intégrale :
∫cosec(x) dx = -∫cosec²(x) + cosec(x) × cotan(x)/u × u’/(cosec(x) × cotan(x) + cosec²(x)). Mais deux termes s’annulent ici :
∫cosec(x) dx = -∫~~cosec²(x) + cosec(x) × cotan(x)/~~u × u’~~/(cosec(x) × cotan(x) + cosec²(x)).~~On réécrit ceci correctement et on a :
∫cosec(x) dx = -∫1/u du = -∫du/u. Evidemment on a une forme u’/u, donc :
∫cosec(x) dx = -ln|u| + C = -ln|cosec(x) + cotan(x)| + C.

Voici la vidéo du détail du calcul : https://www.youtube.com/watch?v=qe0l4G14h5w .

Le fonction cotangente :

Le principe est le même que pour la sécante et la cosécante, la cotangente est la fonction inverse de la tangente, c’est à dire cotan(x) = 1/tan(x), mais aussi cotan(x) = cos(x)/sin(x). Cette fonction est périodique et de période π, elle est impaire : cotan(-x) = -cotan(x). Son domaine de définition est ]0;π[

La fonction cotangente est dérivable en ]kπ ; (k + 1)π[ avec k .

Pour dériver cotan(x), il nous faut utiliser la dérivée usuelle de deux fonctions f'(u/v) = u’v – uv’/v², donc on a :
cotan'(x) = ((-sin(x)) × sin(x) – cos(x) × cos(x))/sin²(x). On développe, on a :
cotan'(x) = (-sin²(x) – cos²(x))/sin²(x). Si on met le moins en facteur au numérateur, on a :
cotan'(x) = -(sin²(x) + cos²(x))/sin²(x), on connait le numérateur, et on peut simplifier :
cotan'(x) = -1/sin²(x). On sait que la cosécante = 1/sin(x). Par conséquent :
cotan'(x) = -cosec²(x) ou cotan'(x) = -1/sin²(x).

Pouvons nous également intégrer cette fonction ? Oui, sa primitive est ∫cotan(x) = 1/tan(x) dx = ln|sin(x)| + C.
Nous allons poser l’intégrale : ∫cotan(x) = cos(x)/sin(x) dx. On va poser également u = sin(x) et u’ = cos(x) dx. On en déduit donc que dx = u’/cos(x).
Par conséquent, on a : ∫cotan(x) = cos(x)/sin(x) × u’/cos(x). Les cos(x) s’annulent, et on a :
∫cotan(x) = 1/u du. On sait que u’/u = ln|u|. Donc :
∫cotan(x) = ln|sin(x)| + C.

Voici la vidéo détaillant le calcul : https://www.youtube.com/watch?v=E_6u3xAu5IE .

Trigonométrie hyperbolique, fonctions hyperboliques et leurs inverses :

Voici la fin de ce chapitre sur les fonctions trigonométriques, si vous avez consulté les pages dérivation, intégration, vecteurs et géométrie et limites au préalable, nous vous conseillons pour la suite, d’aborder le chapitre sur les nombres complexes.

Illustration de Leonhard Euler (1707-1783), qui est à l’origine de l’analyse trigonométrique moderne, et de la formule portant son nom, la formule d’Euler, qui généralise l’analyse complexe et la trigonométrie que nous verrons plus en détails dans le chapitre consacré aux nombres complexes.