Espaces Vectoriels

Bonjour joyeux lecteurs, aujourd’hui, nous allons aborder une notion fondamentale en physique, les espaces vectoriels.
Ce chapitre est relativement chargé, car il y a un nombre conséquent de notions à voir, mais nous allons y aller par étapes successives ainsi que détailler au maximum les calculs, les propriétés et les formules.

Ce chapitre nécessite d’avoir les prérequis suivants :

• Vecteurs et opérations
• Géométrie
• Systèmes linéaires et Matrices (Première partie).
• Fonctions usuelles.
• Suites.
• Polynômes.
• Ensembles et applications.
• Structures algébriques usuelles.

Voici comment nous allons partitionner ce chapitre (Nous ne parlerons que de notions en dimension finie dans la première partie) :

• Définition et propriétés d’un espace vectoriel.
• Espaces vectoriels de référence.
• Démonstrations d’espaces vectoriels.
• Sous espace vectoriel.
• Familles de vecteurs.
• Sous espace vectoriel engendré.
• Théorème de la base incomplète et corollaire de la base extraite.
• Dimension d’un espace vectoriel.
• Sommes, sommes directes de sous espaces vectoriels et espaces supplémentaires.
• Applications linéaires.
• Projection, symétrie et rotation.

La seconde partie traitera de sujets plus compliqués, qui requiert des notions plus avancées, telles que des bases de topologie ou encore  :

• Homomorphisme, forme linéaire et espace dual.
• Hyperplan.
• Dimension infinie.
• Notion de norme et topologie d’espaces vectoriels normés.
• Notion de complétude et de convergence dans un espace vectoriel.
• Espace de Banach.
• Espace Pré-Hilbertien.
• Espace Pré-Hilbertien dual et espace bidual.
• Espace de Hilbert.