Espaces Vectoriels

DÉFINITION ET PROPRIÉTÉS D’UN ESPACE VECTORIEL :

Comme le dit son nom, un espace vectoriel est un espace composé de vecteurs. Que peut on dire sur les spécificités d’un espace vectoriel ? Pourquoi est-ce une notion aussi importante ?
En fait, un espace vectoriel est une structure permettant d’effectuer des combinaisons linéaires. Voici la première définition formelle que nous expliquerons immédiatement après :
Soit un corps $K$ , un espace vectoriel de $E$ sur $K$ , est un groupe commutatif (ou abélien) muni d’une action compatible de $K$ avec $E$ .

Qu’est ce que cela signifie ? Cela signifie qu’un espace vectoriel est une structure algébrique, et plus précisément ce qu’on appelle un groupe abélien (si vous ne savez pas ce que c’est, nous vous invitons à vous rendre sur la page structures algébriques) muni de plusieurs propriétés qui sont les suivantes :

Il est munit d’une loi interne, la loi +, qui signifie que $x,y \in E, x+y \in E$ . L’addition de deux « vecteurs », ou deux éléments de $E$ reste dans $E$ .
Il est associatif pour la loi de l’addition, c’est à dire que si $x,y,z\in E$ , alors $(x+y)+ z = x+(y+z)$
Il possède un élément neutre pour l’addition, qu’on note $0_E$ tel que $x + 0_E = x$ . $0_E$ est le vecteur nul.
Il est munit d’une loi externe, qu’on appelle la multiplication par un scalaire.
Si $x\in E$ et $\lambda\in K$ , alors $x\times\lambda\in E$
Tout élément de $E$ possède un symétrique, tel que le symétrique de $x$ est $-x$ . Ceci est en fait vérifié par la loi de multiplication par un scalaire, en effet :
Si $\lambda=-1$ , alors $x\times -1=-x$

Alors pourquoi est-ce que cette notion d’espace vectoriel est importante ? C’est ce que nous allons voir dans le titre suivant, mais avant, voici un petit schéma explicatif de la manière dont on peut imager un espace vectoriel :

Espaces vectoriels de référence et démonstrations :

Les espaces vectoriels sont une notion importante car ils regroupent un grand nombre d’applications mathématiques avec lesquelles nous avons l’habitude de travailler sans à priori savoir qu’ils en sont.
En effet, peut on citer quelques exemples d’espaces vectoriels ? Oui, et nous allons prendre un exemple de chaque espace vectoriel de référence et démontrer qu’il en est bien un.

Une matrice à $n$ lignes et $p$ colonnes à coefficients dans $K$ forment l’espace vectoriel $M_{n,p}(K)$
Prenons l’ensemble des matrices carrée d’ordre 2, $M_{2,2}(K)$ . Voyons voir si cet ensemble est un espace vectoriel, en en testant les propriétés.

La stabilité par la loi interne de l’addition :
$\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$
Le résultat est bien une matrice de même ordre, l’addition de deux matrices est stable.
L’addition de matrice est bien commutative et associative :
$\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$
Existence d’un élément neutre pour l’addition, en effet :
$\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
Loi externe de multiplication par un scalaire :
$\lambda\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\lambda & 4\lambda \\ \lambda & 0 \end{pmatrix}$
Pour finir, l’existence d’un élément symétrique, ce qui est forcément le cas, car toutes les autres propriétés sont vérifiées. En effet, si on pose $\lambda = -1$ , alors :
$\lambda\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 & -4 \\ \ -1 & 0 \end{pmatrix}$
Et :
$\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -2 & -4 \\ \ -1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$

Donc, l’ensemble des matrices carrées d’ordre 2 est bien un espace vectoriel.

Un corps $K$ , comme le corps $\mathbb{R}$ des nombres réels, est un espace vectoriel. En effet, le corps des réels vérifie les propriétés d’un espace vectoriel. On peut le caractériser comme une k-droite vectorielle, c’est à dire un espace vectoriel de dimension 1 sur le corps $K$ .
Voyons la démonstration pour le corps des nombres réels :

Il est évident que la somme de deux réels $\mathbb{R}_1$ et $\mathbb{R}_2$ est dans $\mathbb{R}$ .
Le corps des réels est un corps commutatif, et les opérations sur l’addition sont bien associatives.
Il existe bien un élément neutre dans le corps de réel, qui n’est autre que 0.
La multiplication d’un réel par un scalaire est bien évidemment toujours un réel.
Tout réel possède également un symétrique.

Nous n’avons pas démontré toutes ces affirmations car elles sont évidentes. Le corps des réels est donc bien un espace vectoriel.

Par extension, l’ensemble des n-uplets d’éléments dans $K$ forme un espace vectoriel de $K$ de dimension n. Par exemple, l’ensemble $\mathbb{R}^2$ :

La somme de deux éléments de $\mathbb{R}^2$ est toujours dans $\mathbb{R}^2$ :
$(x_1,x_2)+(y_1,y_2)=(x_1+y_1,x_2+y_2)$
L’ensemble $\mathbb{R}_2$ est un ensemble commutatif et il est également associatif :
$(x_1,x_2)+(y_1,y_2)=(y_1,y_2)+(x_1,x_2)$
$(x_1,x_2)+[(y_1,y_2)+(z_1,z_2)]=[(x_1,x_2)+(y_1,y_2)]+(z_1,z_2)$
L’élément neutre est $(0,0)$ , en effet :
$(x_1,x_2)+(0,0)=(x_1,x_2)$
L’ensemble est stable par multiplication par un scalaire :
$\lambda(x_1,x_2)=(\lambda x_1, \lambda x_2)$
Tout élément de $\mathbb{R}^2$ possède un symétrique, en effet, si $\lambda=-1$ :
$\lambda(x_1,x_2)=-(x_1,x_2)$ et $(x_1,x_2)+[-(x_1,x_2)]=(0,0)$

L’ensemble des suites réelles est un espace vectoriel réel. En effet, la somme de deux suites $u_n$ et $v_n$ est $(u_n+v_n)$ et le produit d’une suite par un scalaire est $(\lambda u_n)$ .
Démontrons donc que l’ensemble des suites réelles est un espace vectoriel :

La somme $u_n + v_n$ de deux suites $u_n$ et $v_n$ est toujours une suite réelle.
L’addition de deux suites réelles est commutative et associative :
$u_n+v_n=v_n+u_n$ et $(u_n+v_n)+w_n=u_n+(v_n+w_n)$
Existence d’un élément neutre qui est la suite nulle (zéro) :
$u_n + 0 = u_n$
La multiplication d’une suite réelle par un scalaire est toujours une suite réelle :
$\lambda(u_n)$
Le symétrique d’une suite réelle est toujours une suite réelle, et son existence est démontrée par la multiplication par un scalaire, si $\lambda =-1$ :
$\lambda(u_n)=-(u_n)$ et $u_n+(-u_n)=0$

L’ensemble des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ . La somme de deux fonctions $f(x)$ et $g(x)$ est la somme $(f(x)+g(x))$ et le produit d’une fonction par un scalaire est $\lambda f(x)$ .
Démontrons le :

La somme de deux fonctions réelles est une fonction réelle :
$f(x),g(x) \in\mathbb{R}, f(x)+g(x)\in \mathbb{R}$
L’addition de deux fonctions réelles est commutative et associative pour l’addition :
$f(x)+g(x)=g(x)+f(x)$ et $f(x)+[g(x)+h(x)]=[f(x)+g(x)]+h(x)$
La fonction nulle est l’élément neutre :
$latex f(x)+0=f(x)ù
La multiplication d’une fonction réelle par un scalaire est toujours une fonction réelle :
$\lambda\in\mathbb{R}$ et $f(x)\in\mathbb{R}$ , alors $\lambda f(x)\in\mathbb{R}$
Tout comme l’ensemble des suites réelles, on peut démontrer l’existence du symétrique d’une fonction réelle telle que :
$\lambda=-1$ , alors $\lambda f(x)=-f(x)$ et $f(x)+(-f(x))=0$

L’ensemble des polynômes $K[X]$ à coefficient dans $K$ est un espace vectoriel :

La somme de deux polynômes réels est un polynôme réel :
$P(X),Q(X)\in K[X]$ , alors $P(X)+Q(X)\in K[X]$
L’addition de polynômes réels est commutative et associative :
$P(X)+Q(X)=Q(X)+P(X)$ et $P(X)+[Q(X)+G(X)]=[P(X)+Q(X)]+G(X)$
Le polynôme nul et l’élément neutre :
$P(X)+0(X)=P(X)$
La multiplication d’un polynôme réel par un scalaire est un polynôme réel :
Si $\lambda\in\mathbb{R}$ et $P(X)\in K[X]$ , alors $\lambda P(X)\in K[X]$
Tout polynôme réel possède un symétrique :
$\lambda=-1$ , alors $\lambda P(X)=-P(X)$ et $P(X)-(P(X))=0$