mars 2020 – Cosmologie, Univers et Physique

Nous vivons dans un monde en 3 dimensions, ce qui veut dire qu’il faut un jeu de 3 coordonnées
pour repérer un point dans l’espace. En effet, dans le chapitre des espaces vectoriels, nous avons appris que la dimension d’un espace vectoriel est donné par le nombre de vecteurs de la base ${\left( \vec e_i \right)}_{i \in \{1,2,3\}}$ , ce qui veut dire que nous voulons des vecteurs à la fois libres (indépendants linéairement les uns des autres) et générateurs (qui permettent d’exprimer n’importe quel vecteur à partir de ces vecteurs de base).

Ensuite nous imposons que ces vecteurs soient orthogonaux deux à deux $\vec e_i \cdot \vec e_j =0$ pour $i \neq j$ , ce qui veut dire que leur produit scalaire est nul, et normés, ce qui veut dire que chaque vecteur de la base est de norme unité $\vec e_i \cdot \vec e_i =1$ . Ces conditions sont résumées dans le symbole de Kronecker : $\vec e_i \cdot \vec e_j = \delta_{ij}$ . Nous imposons également que la base constituée par les 3 vecteurs de la base constitue un trièdre direct, ce qui veut dire que la donnée de 2 vecteurs impose le 3ème vecteur.

On repère donc un point par la donnée d’un point d’origine, et des 3 vecteurs de la base $\left(O, \vec e_1, \vec e_2, \vec e_3 \right)$ . Les coordonnées $\left(c_1, c_2, c_3\right)$ d’un point $M$ veut donc dire :

$\overrightarrow {OM} = c_1 \vec e_1 + c_2 \vec e_2 + c_3 \vec e_3$

Nous allons définir les 3 systèmes les plus utilisés : les coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques, et voir comment elles sont reliées entre elles.

Coordonnées cartésiennes

Le système de coordonnées cartésiennes est sans aucun doute le système le plus intuitif. Etant donné un point origine et 3 axes, il suffit de repérer le point $M$ par la distance $x$ à parcourir dans la direction $(Ox)$ , la distance $y$ à parcourir dans la direction $(Oy)$ , et la distance $z$ à parcourir dans la direction $(Oz)$ .

Le vecteur repérant le point $M$ s’exprime alors :

$\overrightarrow {OM} = x \vec e_x + y \vec e_y + z \vec e_z$

On notera que les vecteurs de la bases sont constants, les coordonnées ne le sont pas nécessairement.

Coordonnées cylindriques

Il est également possible d’exploiter les symétries d’un système afin d’utiliser un système de coordonnées plus adapté. Par exemple si le système comporte un axe privilégié, il est possible de repérer un point par rapport à sa distance par rapport à cet axe, coordonnée radiale $r$ , par l’angle que forme la projection sur le plan $(Oxy)$ du vecteur repérant ce point avec l’axe $(Ox)$ (l’angle OH avec l’axe des abscisses), et puis par la distance à parcourir sur cet axe par rapport au point d’origine $O$ . On note $M(r,\theta,z)$ les coordonnées de ce point obtenant le vecteur position :

$\overrightarrow {OM} = r \vec e_r (\theta) + z\vec e_z$

L’on notera que le vecteur radial $\vec e_r$ qui dépend implicitement de la coordonnée $\theta$ s’exprime en fonction des vecteurs de la base cartésienne de la façon suivante :

$\left\{ \begin{array}{rcl}\vec e_r & = &\cos\theta \vec e_x + \sin \theta \vec e_y\\ \vec e_\theta &=& -\sin\theta\vec e_x + \cos\theta \vec e_y \end{array}\right.$

De la même façon, nous pouvons exprimer les vecteurs de la base cartésienne en fonction des vecteurs de la base cylindrique :

$\left\{ \begin{array}{rcl}\vec e_x & = &\cos\theta \vec e_r - \sin \theta \vec e_\theta\\ \vec e_y &=& \sin\theta\vec e_r + \cos\theta \vec e_\theta \end{array}\right.$

Établissons l’expression du vecteur orthoradial. Le vecteur correspond à la différence entre le vecteur radial au point $M(r,\theta,z)$ au point infiniment voisin $M(r,\theta + d\theta,z)$ où la coordonnée orthoradiale, et elle seule a augmenté de $d\theta$ .

$rd\theta \vec e_\theta = r\vec e_r(\theta + d\theta) - r\vec e_r(\theta) = d\theta \cdot d \vec e_r / d\theta$

Géométriquement, la distance parcourue correspond à $rd\theta$ dans la direction de $\vec e_\theta$ , obtenant l’expression du vecteur :

$\vec e_\theta = d\vec e_r / d\theta$

Nous pouvons maintenant écrire la relation permettant de passer des cordonnées cylindriques aux coordonnées cartésiennes (la 3ème coordonnée étant identique) :

$\left\{\begin{array}{rcl}x & = & r\cos\theta\\ y & = & r\sin\theta\end{array}\right.$

De même la relation inverse permettant de passer des coordonnées cartésiennes aux coordonnées cylindriques sont :

$\displaystyle \left\{\begin{array}{rcl}r & = & \sqrt{x^2 + y^2}\\ \theta & = & \arctan \left( \displaystyle \frac{x}{ \sqrt{x^2 + y^2} } \right)\end{array}\right.$

L’on remarquera qu’il existe un point singulier, puisque pour $x=0$ et $y=0$ nous ne pouvons pas définir un angle $\theta$ . C’est ce que nous appelons une singularité de coordonnées.

Coordonnées sphériques

Il existe un autre système de coordonnées adapté au système à symétrie sphérique, ce qui veut dire que par rotation autour d’un point $O$ , le système reste invariant. Nous pouvons ainsi indiquer la position d’un point $M$ par sa distance $r$ par rapport à un point origine $O$ , puis l’angle $\theta$ entre l’axe $\left( Oz\right)$ et la droite $(OM)$ . Et enfin, lorsque nous projetons le point $M$ sur le plan $(Oxy)$ , obtenant le point $H$ . La dernière coordonnée est définie par l’angle $\varphi = (\vec e_x,\vec{OM})$ .

Les coordonnées seront notées $M(r,\theta,\varphi)$ .

Le vecteur position s’exprime simplement avec l’aide de la distance $r$ par rapport au point origine $O$ et le vecteur radial $\vec e_r$ qui dépend implicitement des deux autres coordonnées $(\theta,\varphi)$ :

$\overrightarrow {OM} = r \vec e_r(\theta,\varphi)$

Nous pouvions relier les vecteurs de la base du système de coordonnées sphériques aux vecteurs de la base du système de coordonnées cartésiennes :

$\left\{\begin{array}{rcl}\vec e_r & = & \sin\theta\cos\varphi\vec e_x + \sin\theta\sin\varphi\vec e_y + \cos\theta \vec e_z\\ \vec e_\theta & = & \cos\theta\cos\varphi\vec e_x+ \cos\theta\sin\varphi\vec e_y -\sin\theta\vec e_z\\ \vec e_\varphi & = & -\sin\varphi\vec e_x +\cos\varphi\vec e_y\end{array}\right.$

De la même façon que précédemment le vecteur $\vec e_\theta$ correspond au vecteur portant le déplacement de $M(r,\theta,\varphi)$ à $M'(r,\theta+d\theta,\varphi)$ , ce déplacement correspond à parcourir un cercle de rayon $r$ d’un angle $d\theta$ , soit $rd\theta$ :

$rd\theta\vec e_\theta = \vec e_r(\theta+d\theta,\varphi) - \vec e_r(\theta,\varphi) = r d\theta\partial \vec e_r / \partial \theta$

Obtenant : $\vec e_\theta = \partial \vec e_r / \partial \theta$

Le vecteur $\vec e_\varphi$ s’obtient par formation d’un trièdre direct des trois vecteurs $(\vec e_r, \vec e_\theta, \vec e_\varphi)$ , soit :

$\vec e_\varphi = \vec e_r \wedge \vec e_\theta$

Remarque on peut également l’obtenir en considérant le vecteur supportant le déplacement entre les points $M(r,\theta,\varphi)$ et $M(r,\theta,\varphi + d\varphi)$ , sachant que cela revient à parcourir un cercle de rayon $r\sin\theta$ d’un angle $d\varphi$ .

Nous pouvons également écrire l’expression des vecteurs de la base cartésienne avec les vecteurs de la base sphériques :

$\left\{\begin{array}{rcl}\vec e_x & = & \sin\theta\cos\varphi\vec e_r + \cos\theta\cos\varphi\vec e_\theta - \sin\theta \vec e_\varphi\\ \vec e_y & = & \sin\theta\sin\varphi\vec e_r + \cos\theta\sin\varphi\vec e_\theta +\cos\varphi\vec e_\varphi\\ \vec e_z & = & \cos\theta\vec e_r - \sin\theta\vec e_\theta\end{array}\right.$

Les coordonnées sphériques sont reliées aux coordonnées cartésiennes de la manière suivante :

$\left\{\begin{array}{rcl}x & = & r\sin\theta\cos\varphi\\ y & = & r\sin\theta\sin\varphi\\ z & = & r\cos\theta\end{array}\right.$

Et de mêmes inversement les coordonnées cartésiennes sont reliées aux coordonnées sphériques de la manière suivante :

$\left\{\begin{array}{rcl}r & = & \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\\ \theta & = & \arctan \left( \displaystyle\frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \right)\\ \varphi & = & \arctan \left( \displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \right)\end{array}\right.$

Nous remarquons également, que l’angle $\theta$ ne peut être défini à l’origine $O$ qui est donc une singularité de coordonnées. De la même façon, l’angle $\varphi$ ne peut être définie sur l’axe $(Oz)$ là où les coordonnées $x$ et $y$ s’annulent.

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Mois : mars 2020

Systèmes de coordonnées

Coordonnées cartésiennes

Coordonnées cylindriques

Coordonnées sphériques