Systèmes de coordonnées

Gradient

Nous allons maintenant introduire les outils d’analyse vectorielle, puisque nous aurons à manipuler des champs. Tout d’abord nous allons commencer par un champ scalaire, qui est la donnée d’un scalaire qui a une valeur dépendant du point considéré. Par exemple la température, ou la pression sont des scalaires. La carte météo que l’on nous présente le soir est un champ scalaire. Nous allons Nous commencerons par le gradient d’un champ scalaire dont nous donnerons les expressions dans les différents systèmes de coordonnées.

Définition du gradient

Le gradient permet de connaître la variation d’un champ scalaire en fonction de la direction considérée. Soit $f$ une fonction à plusieurs variables (un champ scalaire). La dérivée totale s’exprime avec le gradient de la fonction définie de la manière suivante :
$df=\vec\nabla f\cdot\overrightarrow{dM}$
Où $\overrightarrow{dM}$ est un déplacement infinitésimal, et $\vec\nabla f$ est le gradient de $f$ .

Expression du gradient en coordonnées cartésiennes

En coordonnées cartésiennes, la différentielle totale de $f(x,y,z)$ s’écrit :
$\displaystyle df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy+\frac{\partial f}{\partial z}dz$

Expression du déplacement infinitésimal

Fixons $y$ et $z$ et faisons un déplacement infinitésimal dans la direction $(Ox)$ , nous obtenons un déplacement $dx$ .
En raisonnant de la même façon nous obtenons les déplacements élémentaires le lond des autres directions, et nous trouvons le déplacement infinitésimal total :
$\overrightarrow{dM}=dx\vec{e}_x+dy\vec{e}_y+dz\vec{e}_z$

Expression du gradient

L’expression du gradient recherchée est :

$\displaystyle\vec\nabla f=\frac{\partial f}{\partial x}\vec{e}_x+\frac{\partial f}{\partial y}\vec{e}_y+\frac{\partial f}{\partial z}\vec{e}_z$

Expression du gradient en coordonnées cylindriques

La différentielle totale de $f(r,\theta,z)$ s’écrit :
$\displaystyle df=\frac{\partial f}{\partial r}dr+\frac{\partial f}{\partial \theta}d\theta+\frac{\partial f}{\partial z}dz$

Expression du déplacement infinitésimal

Fixons $\theta$ et $z$ et faisons varier $r$ (déplacement suivant $\vec{e}_r$ ), nous obtenons $dr$. De même suivant $\vec{e}_\theta$ , le déplacement est $rd\theta$ , et $\vec{e}_z$ on a $dz$ d’où :

$\overrightarrow{dM}=dr\vec{e}_r+rd\theta\vec{e}_\theta+dz\vec{e}_z$

Expression du gradient

L’on trouve alors l’expression du gradient :

$\displaystyle\vec\nabla f=\frac{\partial f}{\partial r}\vec{e}_r+\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}\vec{e}_\theta+\frac{\partial f}{\partial z}\vec{e}_z$

Expression du gradient en coordonnées sphériques

La différentielle totale de $f(r,\theta,\varphi)$ s’écrit :
$\displaystyle df=\frac{\partial f}{\partial r}dr+\frac{\partial f}{\partial \theta}d\theta+\frac{\partial f}{\partial \varphi}d\varphi$

Expression du déplacement infinitésimal

De même un déplacement suivant la direction $\vec{e}_r$ correspond $dr$, suivant $\vec{e}_\theta$ correspond $rd\theta$, et suivant $\vec{e}_\varphi$ correspond $r\sin\theta d\varphi$, d’où :

$\overrightarrow{dM} = dr\vec{e}_r + rd\theta\vec{e}_\theta + r\sin\theta d\varphi\vec{e}_\varphi$

Expression du gradient

L’on trouve alors l’expression du gradient :

$\displaystyle\vec\nabla f=\frac{\partial f}{\partial r}\vec{e_r}+\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}\vec{e_\theta}+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial f}{\partial \varphi}\vec{e_\varphi}$