Matrices

Opérations et produits matriciels :

Produit matriciel :

Soit $A = (a_{ij})$ une matrice $n \times p$ et $B = (b_{ij})$ une matrice $n \times q$ . On définit le produit de ces deux matrices comme le produit $C = AB$ , de forme $n \times q$ , et définie par :

$c_{ij}=\displaystyle{\sum_{k=1}^p (a_{ik})(b_{kj})}=\displaystyle{\sum_{k=1}^p (b_{kj})(a_{ik})}$

On peut également l’écrire de cette manière :

$c_{ij}=a_{i,1} b_{1,j}+$ … $+ a_{ik}+b_{kj}+$ … $+ a_{i,p}+b_{p,j}$

Attention, le produit de deux matrices n’est possible que si le nombre de colonnes de la première matrice est égale au nombre de lignes de la deuxième, on dit qu’elles sont compatibles.

Il existe une méthode pour effectuer une multiplication de deux matrices que vous devez connaître :

Montrons deux exemples :

Tout d’abord, on va considérer deux matrices $A$ et $B$ , $A = 2 \times 3$ et $B = 3 \times 2$ :

Si $A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}1 & 2 \\ -1 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}$ , alors $A.B=\begin{pmatrix}2 & 7 \\ 3 & 11\end{pmatrix}$

Autre exemple, si on multiplie deux matrices $u$ et $v$ telles que :

$u=(a_1,a_2,...,a_n)$ et $v=\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ ... \\ b_n \end{pmatrix}$ , alors $u.v$ est une matrice $1.1$ de la forme $u.v=(a_1 b_1, a_2 b_2,...,a_n b_n)$

Ceci revient en fait à effectuer le produit scalaire de u et de v, nous y reviendrons.

Quelques propriétés importantes concernant les produits de matrices :

Attention, il existe une règle très importante lors du produit de deux matrices. En effet, le produit de deux matrices n’est pas commutatif :
$AB \neq BA$ .
Par exemple :
$\begin{pmatrix}5 & 1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & 0 \\ 4 & 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}14 & 3 \\ -2 & -6 \end{pmatrix}$ alors que $\begin{pmatrix}2 & 0 \\ 4 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}5 & 1 \\ 3 & -2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10 & 2 \\ 29 & -2 \end{pmatrix}$
On voit clairement en effectuant le calcul, que l’un n’est pas égal à l’autre.
Autre propriété importante et intéressante : AB = 0, n’implique pas que A = 0 ou B = 0, par exemple :
$A=\begin{pmatrix}0 & -1 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}2 & -3 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ , alors $A.B= \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$
Encore une fois, on voit que le résultat du produit des matrices A et B est nul, mais qu’aucune des deux matrice ne l’est.
Troisième propriété : $AB = BC$ n’implique pas que $A = C$ . Pour cela, il suffit de remarquer que le produit de matrices n’est pas commutatif.

En revanche, il existe d’autres propriétés de calcul applicables aux matrices :

L’associativité : $A(BC) = (AB)C$ .
La distributivité du produit pour l’addition : $A(B + C) = AB + AC$ et $(B + C)A = BA + CA$ , en revanche $A(B + C) \neq (B + C)A$ ou $AB + AC \neq BA + CA$ .
L’élément neutre $0$ de la multiplication s’applique, tel que $0 \times A = 0$ et $A \times 0 = 0$ .

Matrice identité :

Nous allons prendre une matrice carrée un petit peu spéciale. Nous allons appeler cette matrice In (qu’on peut également appeler I). Voici comment on la défini :

$I=\begin{pmatrix}1 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 1 & ... & 0 \\ 0 & ... & 1 & ... \\ 0 & 0 & ... & 1 \end{pmatrix}$

Ceci est la matrice identité qui de rang $n$ , cela signifie que n’importe quelle matrice $A$ de rang $n$ multipliée par la matrice identité de rang $n$ , donnera comme résultat la matrice $A$ elle même.
Par exemple, si on prend une matrice $A = (a_{ij}) de taille$ latex 2 \times 2$, si on effectue le produit avec la matrice identité de rang $2$ :

Si $A=\begin{pmatrix}1 & 3 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}$ , $I_{2,2}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , alors $A.I_{2;2}=\begin{pmatrix}1 & 3 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}$

Un autre exemple, avec cette fois une matrice B = (bij) de taille 3 × 3, en effectuant le produit avec la matrice identité de rang 3 :

Si $A=\begin{pmatrix}1 & 3 & 4 \\ 4 & 8 & 1 \\ 9 & 2 & -2 \end{pmatrix}$ et Si $I_{3,3}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ , alors $A.I_{3,3}=\begin{pmatrix}1 & 3 & 4 \\ 4 & 8 & 1 \\ 9 & 2 & -2 \end{pmatrix}$

Pour la définir de manière légèrement vulgaire, on peut dire que la matrice identité dispose uniquement de 1 sur la verticale de gauche à droite, et de 0 partout ailleurs…

Nous allons parler d’une technique, et plus précisément d’une fonction de deux variables, qui définit parfaitement la matrice identité, le symbole de Kronecker.
Ce passage peut être un peu compliqué, car ceci est une petite introduction aux produits tensoriels (que nous ne verrons pas ici, mais dont le symbole de Kronecker est un des outils fondamentaux).

Qu’est ce que le symbole de Kronecker, en fait, c’est la fonction qui est égale à 1 lorsque les deux variables sont égales, et 0 lorsqu’elles ne le sont pas, on peut l’écrire de cette manière :

$\delta_{ij}= \begin{cases} 1 & \mbox{si } i=j \\ 0 & \mbox{si } i \neq j \end{cases}$

Par exemple, dans une matrice identité d’ordre 3, on a :

$\delta_{ij}=\begin{pmatrix}\delta_{11} & \delta_{12} & \delta_{13} \\ \delta_{21} & \delta_{22} & \delta_{23} \\ \delta_{31} & \delta_{32} & \delta_{33} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Dans une matrice, on a vu qu’une valeur à un endroit donné renvoie une valeur $i$ (ligne) et $j$ (colonne). De manière simplifiée, on peut dire que le symbole de Kronecker représente toutes les valeurs d’une matrice de rang $n$ . Aux endroits ou $i = j$ , si on pose $i = j = 1$ , alors, on a forcément une matrice identité de l’ordre correspondant au rang de cette matrice.
Par exemple, si on regarde la matrice de Kronecker d’ordre 3 que nous avons illustré ci dessus, on peut voir que là ou les valeurs de $i = j$ , alors $\delta_{ij}=1$ , on se retrouve avec la matrice :

$\delta_{ij}=\begin{pmatrix}1 & \delta_{12} & \delta_{13} \\ \delta_{21} & 1 & \delta_{23} \\ \delta_{31} & \delta_{32} & 1 \end{pmatrix}$

Que remarque t-on ? Oui, ceci est une matrice identité d’ordre 3. On a donc bien la définition d’une matrice identité grâce au symbole de Kronecker.

On va illustrer ceci par une application concrète. On prend A, une matrice $n \times p$ .
On sait que $A \times I_n = A$ . In étant la matrice identité. A présent, nous allons démontrer également que $A \times I_p = A$ . Matrice unité d’ordre $p$ est la matrice dont tous les éléments de la diagonale principale sont égaux à 1, les autres étant nuls. On peut appeler cette matrice vulgairement une matrice de Kronecker, comme nous avons vu plus haut.

Le terme général de la matrice identité $I_p$ est $\delta_{ij}$ , avec $i$ et $j$ deux entiers, et compris entre 1 et $p$ (nous aurions pu dire entre 1 et $n$ , ici, nous utiliserons $p$ ).
En fait, on veut simplement démontrer que $I_n = I_p$ , en effet, on va supposer que toute matrice identité n’ordre $n$ , est une matrice de Kronecker.
Donc, on va considérer pour le moment que le produit de $A \times I_p = C = (c_{ij})$ . $C$ étant une troisième matrice que nous ne connaissons pas, alors on pose :

$c_{ij}=\displaystyle{\sum_{k=1}^p a_{ik} \delta_{kj}}=a_{i,1}\delta_{1,j}+a_{i,2}\delta_{2,j}+...+a_{i,p}\delta_{p,j}$

Ici, $i$ et $j$ sont fixés, c’est à dire qu’on considère non pas une matrice, mais un nombre quelconque dans cette matrice et $k$ prend toutes les valeurs comprises entre 1 et $p$ .

Par conséquent, si $k \neq j$ , alors $\delta_{kj} = 0$ .
En revanche, si $k = j$ , alors $\delta_{kj} = 1$ .

On voit ceci facilement, par exemple, si on fixe une valeur de $j$ , par exemple $j=2$ , alors on a $c_{i,j}=\displaystyle{\sum_{k=1}^2 a_{i,k} \delta_{k,j}}=a_{i,1} \delta_{1,2}+a_{i,2} \delta_{2,2}+a_{i,3} \delta_{3,2}=a_{i,2}$ . Etant donné qu’on avait fixé $i$ , tel que $c_{i,j}=c_{i,2}$ , et que nous avons trouvé $a_{i2}=a_{i,j}$ , on a bien $c_{i,j}=a_{i,j}$ et par conséquent, et pour toute matrice compatible de degré $p$ , $\delta_{i,j}=I_p$

En conclusion, si $k \neq j$ , alors tous les termes correspondants à des valeurs $k$ différentes de $j$ sont nuls. Il reste donc $c_{ij} = a_{ij} \times \delta_{ij} = a_{ij} \times 1 = a_{ij}$ .

Par conséquent, les matrices $A$ et $A.I_p$ ont le même terme général, et sont donc égales.

Ceci nous amène à d’autres propriétés :

Les indices d’un symbole de Kronecker sont inversibles, tel que : $\delta_{i,j} = \delta_{j,i}$
Lorsqu’on effectue le produit de deux fonctions de Kronecker $\delta_{i,j} \times \delta_{i,k}= \delta_{j,k} \Longleftrightarrow j=k$

Autrement dit, si $i = j = 1$ , alors $\delta_{ij}=\delta_{ii}$ et donc $\delta_{ii}$ (d’ordre 3), revient à poser :

$\displaystyle{\sum_{i=1}^3 \delta_{ii}=\delta{11}+\delta_{22}+\delta_{33}=1+1+1=3}$

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Opérations et produits matriciels :

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