Matrices

Définition, propriétés fondamentales des matrices et opérations simples :

Une matrice est un tableau de chiffres ou nombres, qui facilite l’interprétation de calculs d’algèbre linéaire et bilinéaire. C’est à dire que ces tableaux servent à interpréter, en terme calculatoire, des résultats d’algèbre linéaire qui sont en fait théoriques. En fait, toutes les disciplines qui étudient des phénomènes linéaires utilisent des matrices.
De manière plus formelle, une matrice est une application de deux corps I et J, d’éléments d’un corps K, qui peut par exemple être R ou C. On définit la taille d’une matrice que l’on va appeler A, comme n × p, n étant le nombre de lignes, et p le nombre de colonnes, m × n, m étant le nombre de lignes et n le nombres de colonnes.
Les nombres présent dans le tableau sont appelés coefficients de A.
Aij, est le coefficient en i-ème ligne, et j-ème colonne.

Si on schématise ceci :

Ici, $A = (A_{i,j})$ avec $1\leq i \leq m$ et $1 \leq j \leq n$ .

Prenons un exemple de matrice, une matrice réelle :

$\begin{pmatrix}1 & -2 & 5 \\ 0 & 3 & 7 \end{pmatrix}$

Ceci est une matrice $2\times 3$ , avec $n = 2$ et $p = 3$ .
$a_{1,1} = 1$ et $a_{2,3} = 7$ .

Quelques propriétés :

Deux matrices sont égales si on la même taille et les mêmes coefficients.
On définit $M_{n,p}(K)$ l’ensemble des matrices $n\times p$ à coefficient dans $K$ , et les éléments de $M_{n,p}(\mathbb{R})$ , sont appelés matrices réelles.

Nous allons voir quelques types de matrices particulières. La première est la matrice carrée.

La matrice carrée se définie comme $n = p$ , le nombre de lignes est le même que le nombre de colonnes. On note $M_n(K)$ et non plus $M_{n,n}(K)$ , étant donné que $n = p$ :
$\begin{pmatrix}a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,n} \\a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\ a_{n,1} & a_{3,2} & a_{n,n}\end{pmatrix}$
La matrice $n = 1$ , qu’on appelle la matrice ligne ou vecteur ligne. On l’écrit comme ceci :
$\begin{pmatrix}a_1 & a_2 & a_p\end{pmatrix}$
La matrice $p = 1$ . On l’appelle la matrice colonne ou vecteur colonne. On peut l’écrire de cette façon :
$\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_n \end{pmatrix}$
La matrice nulle, $0_{n,p}$ ou 0 : dont tous les coefficients sont nuls.

Addition de matrices :

Il est possible de faire la somme de deux matrices uniquement si ces deux matrices sont de même taille. Par exemple, une matrice colonne et une matrice ligne ne peuvent pas s’additionner, et réciproquement.

Par exemple, si :

$A=\begin{pmatrix}3 & -2 \\ 1 & 7\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}0 & 5 \\ 2 & -1\end{pmatrix}$ , alors, $A+B=\begin{pmatrix}3 & 3 \\ 3 & 6\end{pmatrix}$

De manière plus générale, la somme $C = A + B$ de deux matrices $n \times p$ est définie par $c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$

Produit de matrice par un scalaire :

Le produit de $A = (a_{ij}) \in M_{n,p}(K)$ par un scalaire $\alpha \in K$ s’écrit sous la forme : $\alpha \times A= (\alpha a_{ij})$ . Par exemple :

Si $A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}$ et $\alpha=2$ , alors $\alpha A=\begin{pmatrix}2 & 4 & 6 \\ 0 & 2 & 0\end{pmatrix}$

Matrice opposée et soustraction :

On pose $-A = (-1)A$ comme étant l’opposée de $A$ .
La différence de $A - B$ est définie par $A + (-B)$ .
Par exemple :

Si $A=\begin{pmatrix}2 & -1 & 0 \\ 5 & -5 & 2\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}-1 & 4 & 2 \\ 7 & -5 & 3\end{pmatrix}$ , alors $A-B=\begin{pmatrix}3 & -5 & -2 \\ -3 & 0 & -1\end{pmatrix}$

Dernières propriétés concernant les opérations simples de matrices :

La somme est commutative : $A + B = B + A$ .
$A + (B + C) = (A + B) + C$ . La somme est associative.
$A + 0 = A$ . La matrice nulle est l’élément neutre de l’addition.
$(\alpha + \beta )A = \alpha A + \beta A$ .
Enfin, $\alpha(A + B) = \alpha A + \alpha B$ . La loi est distributive pour l’addition.
Pour démontrer ceci, on pose $(\alpha + \beta)A = (\alpha + \beta)a_{ij}$ . On a donc bien $(\alpha + \beta)a_{ij} = \alpha a_{ij} + \beta a_{ij}$ , donc le terme général est $\alpha A + \beta A$ .