Matrices

Transposées de matrices :

Nous continuons dans la lignée des transformations de matrices, avec maintenant, ce qu’on appelle la transposition de deux matrices. On pourra presque résumer cette notion en deux lignes :

Soit une matrice $M$ quelconque de taille $n \times m$ , on appelle transposée de $M$ la matrice $M^T$ , et telle que si $M=m_{(i,j)}$ , alors $M^T=m_{(j,i)}$ avec $i,j \in \{1,2,...,n\} \times \{1,2,...,m\}$ .

De manière plus littéraire, transposer une matrice consiste à échange ses lignes et ses colonnes. Par exemple, si on prend une matrice $M=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ , alors sa transposée s’écrit $M^T=\begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}$

Voici comment on peut schématiser le processus :

Il en découle quelques propriétés intéressantes. Soit $A$ et $B$ , deux matrices quelconques compatibles de $M_n(K)$ :

$(A^T)^T=A$ . On remarque que c’est une application linéaire, et qui est involutive, analogue à une symétrie par exemple, autrement dit, lorsqu’on l’applique deux fois la transposée, on retrouve la matrice de départ. En fait, et pour être plus précis, c’est un endomorphisme involutif.
$(A+B)^T=A^T+B^T$
On peut démontrer ceci facilement :
$(A+B)^T=(A+B)^T_{ij}=(A+B)_{ji}=(A)_{ji}+(B)_{ji}=(A^T)_{ij}+(B^T)_{ij}=A^T+B^T$
$(\alpha A^T)=\alpha (A^T)$
$(AB)^T=B^T \cdot A^T$
Prouvons cela également car c’est digne d’intérêt. Dans cet exemple, on choisira deux matrices $A,B$ de dimension respectivement $m \times p$ et $p \times n$ , il faut effectivement qu’elles soient compatibles :
$(AB)^T=(AB)_{ji}=\displaystyle{\sum_{k=1}^p (A)_{jk} (B)_{ki}=\sum_{k=1}^p (B)_{ki}(A)_{jk}}$ .
En effet, on applique l’écriture de sommation du produit matriciel, et, on se rend compte que pour des $i,j$ fixés, le produit devient commutatif puisqu’il ne s’agit que de nombres réels (ou complexes). Donc, on continue, et on a :
$(AB)^T=\displaystyle{\sum_{k=1}^p (B)_{ki}(A)_{jk}=\sum_{k=1}^p (B^T)_{ik}(A^T)_{kj}=\sum_{k=1}^p (B^T \cdot A^T)_{ij}}=B^T \cdot A^T$