Matrice inverse :
Vous rappelez vous que nous avions défini le produit de deux matrices comme étant non commutatif ? Il s’avère qu’il peut l’être, si les deux matrices en question sont dites « inversibles ».
Dans ce cas, si on a une matrice d’ordre
et une matrice
d’ordre
qui sont inversibles, on dit que :
.
On appelle la matrice l’inverse de
, tel que
.
Lorsqu’une matrice est inversible fois, avec
, on note :
…
fois.
On note l’ensemble des matrices inversibles
. C’est une convention.
Passons à un exemple, car pour le moment, nous n’avons pas énoncé la méthode pour affirmer qu’une matrice est l’inverse d’une autre matrice. Nous allons prendre une matrice , et chercher une matrice
, tels que
et
:
On va définir . On va définir
, une matrice carrée de la forme
Donc, , si et seulement si
On peut écrire ceci comme un système de quatre équations à quatre inconnues, qui n’est pas très compliqué à résoudre, en effet :
Il y a donc une unique solution :
Pour prouver que , il faut aussi montrer l’égalité
.
si et seulement si
De manière analogue, on définit ceci comme un système d’équation :
On vient de démontre que et la matrice A est bien inversible :
Nous allons voir un exemple de matrice non inversible :
n’est pas inversible. Pourquoi ? car si on prend
, alors on a :
Quelques exemples de matrices inversibles et non inversibles :
- La matrice identité
est inversible car
par l’égalité
.
- La matrice nulle
, n’est pas inversible car :
Pour tout, on a
.
Il est une affirmation importante concernant l’inverse d’une matrice :
Si est inversible, alors son inverse est unique. Il est possible de le démontrer algébriquement :
On suppose qu’il existe une matrice , telle que
et une matrice
telle que
.
On va servir de la propriété d’associativité des matrices et calculer . On sait que
et
.
D’une part, .
D’autre part, .
Donc, . Il y a unicité de la matrice inverse.
Quelques propriétés concernant les matrices inverses pour terminer :
- Si
est une matrice inversible, alors
est aussi inversible et
.
- Prenons
et
deux matrices de même taille, Alors si
sont inversibles, alors :
.
On peut démontrer ceci en posant.
Alors.
De même,.
De façon analogue, sisont inversibles, on peut généraliser et écrire que :
.
*Attention, l’ordre s’inverse comme vous pouvez le voir, à ne pas oublier. - Pour finir, on rappelle que
n’implique pas que
, sauf si
est une matrice inversible :
Soientet
, deux matrices dans
. Si
est une matrice inversible de
, alors
, et on peut le démonter de cette manière :
.
Alors,.
Or,, donc
.