Matrices

Matrice inverse :

Vous rappelez vous que nous avions défini le produit de deux matrices comme étant non commutatif ? Il s’avère qu’il peut l’être, si les deux matrices en question sont dites « inversibles ».
Dans ce cas, si on a une matrice $A$ d’ordre $n$ et une matrice $B$ d’ordre $n \in M_n(K)$ qui sont inversibles, on dit que :
$AB = BA = I_n$ .
On appelle la matrice $B$ l’inverse de $A$ , tel que $B = A^{-1}$ .
Lorsqu’une matrice est inversible $p$ fois, avec $p \in N$ , on note :

$A^{-p}=(A^{-1})^p= A^{-1}\cdot A^{-1}$ … $A^{-1} p$ fois.

On note l’ensemble des matrices $M_n(K)$ inversibles $GL_n(K)$ . C’est une convention.

Passons à un exemple, car pour le moment, nous n’avons pas énoncé la méthode pour affirmer qu’une matrice est l’inverse d’une autre matrice. Nous allons prendre une matrice $A$ , et chercher une matrice $B$ , tels que $AB = I_2$ et $BA = I_2$ :

On va définir $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ . On va définir $B$ , une matrice carrée de la forme $B=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$

Donc, $AB = I_2$ , si et seulement si $\begin{pmatrix} a+2c & b+2d \\ 3c & 3d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

On peut écrire ceci comme un système de quatre équations à quatre inconnues, qui n’est pas très compliqué à résoudre, en effet :

$\begin{cases} a + 2c=1 \\ b+2d =0 \\ 3c=0 \\ 3d=1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a =1 \\ b+2d =0 \\ c=0 \\ d=\frac{1}{3} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a =1 \\ b =-\frac{2}{3} \\ c=0 \\ d=\frac{1}{3} \end{cases}$

Il y a donc une unique solution :

$B=\begin{pmatrix} 1 & -\frac{2}{3} \\ 0 & \frac{1}{3} \end{pmatrix}$

Pour prouver que $B = A^{-1}$ , il faut aussi montrer l’égalité $BA = I_2$ .

$BA=I_2$ si et seulement si $\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

De manière analogue, on définit ceci comme un système d’équation :

$\begin{cases} a =1 \\ 2a+3b =0 \\ c=0 \\ 2c+3d=1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a =1 \\ 2+3b =0 \\ c=0 \\ d=\frac{1}{3} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a =1 \\ b =-\frac{2}{3} \\ c=0 \\ d=\frac{1}{3} \end{cases}$

On vient de démontre que $AB = BA = I_2$ et la matrice A est bien inversible :

Nous allons voir un exemple de matrice non inversible :

$A= \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 5 & 0 \end{pmatrix}$ n’est pas inversible. Pourquoi ? car si on prend $B= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ , alors on a :

$BA=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 5 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3a+5b & 0 \\ 3c+5d & 0 \end{pmatrix}\neq \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Quelques exemples de matrices inversibles et non inversibles :

La matrice identité $I_n$ est inversible car $I_{n}^{-1} = I_n$ par l’égalité $I_n \times I_n = I_n$ .
La matrice nulle $0_n$ , n’est pas inversible car :
Pour tout $B \in M_n(K)$ , on a $B \cdot 0_n = 0_n \neq I_n$ .

Il est une affirmation importante concernant l’inverse d’une matrice :
Si $A$ est inversible, alors son inverse est unique. Il est possible de le démontrer algébriquement :

On suppose qu’il existe une matrice $B_1$ , telle que $A \times B_1 = B_1 \times A = I_n$ et une matrice $B_2$ telle que $A \times B_2 = B_2 \times A = I_n$ .
On va servir de la propriété d’associativité des matrices et calculer $B_2 \times (A \times B_1)$ . On sait que $A \times B_1 = B_1 \times A = I_n$ et $A \times B_2 = B_2 \times A = I_n$ .
D’une part, $B_2 \times (A \times B_1) = B_2 \times I_n = B_2$ .
D’autre part, $B_2 \times (A \times B_1) = (B_2 \times A) \times B_1 = I_n \times B_1 = B_1$ .
Donc, $B_1 = B_2$ . Il y a unicité de la matrice inverse.

Quelques propriétés concernant les matrices inverses pour terminer :

Si $A$ est une matrice inversible, alors $A^{-1}$ est aussi inversible et $(A^{-1})^{-1} = A$ .
Prenons $A$ et $B$ deux matrices de même taille, Alors si $AB$ sont inversibles, alors :
$(AB)^{-1} = A^{-1} \times B^{-1}$ .
On peut démontrer ceci en posant $(A^{-1} \times B^{-1})(AB) = I_n$ .
Alors $(A^{-1} \times B^{-1})(AB) = B^{-1} \times (A \times A^{-1}) \times B = B^{-1} \times I_n \times B = I_n$ .
De même, $(AB)(A^{-1} \times B^{-1}) = A \times (B \times B^{-1}) \times A^{-1} = A \times A^{-1} = I_n$ .
De façon analogue, si $A_1, A_2, ... , A_m$ sont inversibles, on peut généraliser et écrire que :
$(A_1, A_2, ..., A_m)^{-1} = A_m^{-1} \times A_{m-1}^{-1} \times A_{m-2}^{-1} \times ... \times A_1^{-1}$ .
*Attention, l’ordre s’inverse comme vous pouvez le voir, à ne pas oublier.
Pour finir, on rappelle que $AB = BC$ n’implique pas que $A = B$ , sauf si $C$ est une matrice inversible :
Soient $A$ et $B$ , deux matrices dans $M_n(K)$ . Si $C$ est une matrice inversible de $M_n(K)$ , alors $A = B$ , et on peut le démonter de cette manière :
$AC = BC \Rightarrow (AC)C^{-1} = (BC)C^{-1}$ .
Alors, $A(CC^{-1}) = B(CC^{-1})$ .
Or, $A \cdot I_n = B \cdot I_n$ , donc $A = B$ .