Matrices symétriques et antisymétriques :
Une matrice symétrique est simplement une matrice qui est égale à sa transposée.
Soit . On dit que
est une matrice symétrique si :
. Autrement dit,
avec
Une matrice antisymétrique est égale à l’opposée de sa transposée :
Soit . On dit que
est une matrice antisymétrique si :
. Autrement dit,
avec
Prenons un exemple d’application :
Soit la matrice carrée
Essayons de calculer sa transposée et voir si elle est symétrique ou antisymétrique.
On voit immédiatement que et également
n’est donc ni symétrique ni antisymétrique.
Prenons un second exemple.
Soit la matrice carrée
Calculons la transposée de :
On se pose la question suivante : Sous quelles conditions est-elle symétrique ? Antisymétrique ?
On peut tout suite poser ceci :
Si la matrice est symétrique, alors
Tout simplement, on peut dire que pour que , il faut que
et
.
Maintenant, à quelle condition est antisymétrique ?
On voit qu’il faut que :
En effet, à ces conditions seulement, la matrice serait antisymétrique.