Matrices

Matrices triangulaires et leurs propriétés :

La notion de matrice triangulaire est très simple. Il existe deux types de matrices triangulaire, les matrices triangulaires supérieures et les matrices triangulaires inférieures.

Voici la définition d’une matrice triangulaire supérieure :

Soit $A$ , une matrice de $M_{n,p}(\mathbb{K})$ , on dit que $A$ est une matrice triangulaire supérieure si $\forall i,j \in \mathbb{K}$ , $a_{i,j}=0$ lorsque $i > j$ , par exemple :

$A=\begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & ... & a_{1,p} \\ 0 & a_{2,2} & ... & a_{2,p} \\ 0 & 0 & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & a_{n,p} \end{pmatrix}$

Matrice triangulaire supérieure veut simplement dire que les valeurs au dessous de la diagonales sont nulles.

Voyons maintenant ce qu’est une matrice triangulaire inférieure :

Soit $B$ , une matrice de $M_{n,p}(\mathbb{K})$ , on dit que $B$ est une matrice triangulaire supérieure si $\forall i,j \in \mathbb{K}$ , $a_{i,j}=0$ lorsque $i < j$ , par exemple :

$B=\begin{pmatrix} a_{1,1} & 0 & 0 & 0 \\ a_{2,1} & a_{2,2} & 0 & 0 \\ ... & ... & ... & 0 \\ a_{n,1} & a_{n,2} & ... & a_{n,p} \end{pmatrix}$

De manière analogue, une matrice triangulaire inférieure veut dire que tous les coefficients se trouvant au dessus de la diagonale sont nuls.

Quelques propriétés importantes et intéressantes :

La transposée d’une matrice triangulaire inférieure est une matrice triangulaire supérieure, et vice versa.
Exemple :
Soit $M=\begin{pmatrix} a_{1,1} & 0 & 0 \\ a_{2,1} & a_{2,2} & 0 \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} \end{pmatrix}$ .

Alors, $i,j \rightarrow j,i \Rightarrow$ $M^{T}=\begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\ 0 & a_{2,2} & a_{2,3} \\ 0 & 0 & a_{3,3} \end{pmatrix}$
Une matrice qui est à la fois une matrice triangulaire inférieure et supérieure, est appelée, matrice diagonale, et se définit de la manière suivante :

$C=\begin{pmatrix} a_{1,1} & 0 & 0 \\ 0 & a_{2,2} & 0 \\ 0 & 0 & a_{3,3} \end{pmatrix}$
Le produit de deux matrices triangulaire supérieures est une matrice triangulaire supérieure :

Soit $A=\begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\ 0 & x_5 & x_6 \\ 0 & 0 & x_9 \end{pmatrix}$ , $B=\begin{pmatrix} y_1 & y_2 & y_3 \\ 0 & y_5 & y_6 \\ 0 & 0 & y_9 \end{pmatrix}$

Alors $A \cdot B=\begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\ 0 & x_5 & x_6 \\ 0 & 0 & x_9 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} y_1 & y_2 & y_3 \\ 0 & y_5 & y_6 \\ 0 & 0 & y_9 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_1 y_1 & x_1 y_2 x_2 y_5 & x_1 y_3 x_2 y_6 x_3 y_9 \\ 0 & x_ 5 y_5 & x_5 y_6 x_6 y_9 \\ 0 & 0 & x_9 y_9 \end{pmatrix}$

Ceci est évidemment vrai également pour le produit de deux matrices triangulaires inférieures :

Soit $C= \begin{pmatrix} z_1 & 0 & 0 \\ z_4 & z_5 & 0 \\ z_7 & z_8 & z_9 \end{pmatrix}$ et $D= \begin{pmatrix} t_1 & 0 & 0 \\ t_4 & t_5 & 0 \\ t_7 & t_8 & t_9 \end{pmatrix}$ ,

Alors $C \cdot D=\begin{pmatrix} z_1 & 0 & 0 \\ z_4 & z_5 & 0 \\ z_7 & z_8 & z_9 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} t_1 & 0 & 0 \\ t_4 & t_5 & 0 \\ t_7 & t_8 & t_9 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} z_1 t_1 & 0 & 0 \\ z_4t_1 z_5 t_4 & z_5 t_5 & 0 \\ z_7 t_1 z_8 t_4 z_9 t_7 & z_8 t_5 z_9 t_8 & z_9 t_9 \end{pmatrix}$
Une matrice triangulaire A est inversible si et seulement si tous ses termes diagonaux sont non nuls. Dans ce cas, son inverse est aussi une matrice triangulaire (supérieure si A est supérieure, inférieure sinon). Prouvons cela :

Soit $A=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$

Si $A$ est inversible, alors il existe une matrice $B$ , tel que $A \cdot B = Id$ .

Soit $B=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$

Donc on pose :

$\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

On se retrouve avec le système suivant :

$\left\{\begin{array}{l} 2a = 1 \\ 2b = 0 \\ a+4c=0 \\ b+4d=1 \\ \end{array}\right.$

Or :

$\left\{\begin{array}{l} a = \frac{1}{2} \\ b = 0 \\ c=-\frac{1}{8} \\ d=\frac{1}{4} \\ \end{array}\right.$

Par conséquent, $B=\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{1}{8} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}$