Matrices triangulaires et leurs propriétés :
La notion de matrice triangulaire est très simple. Il existe deux types de matrices triangulaire, les matrices triangulaires supérieures et les matrices triangulaires inférieures.
Voici la définition d’une matrice triangulaire supérieure :
Soit , une matrice de
, on dit que
est une matrice triangulaire supérieure si
,
lorsque
, par exemple :
Matrice triangulaire supérieure veut simplement dire que les valeurs au dessous de la diagonales sont nulles.
Voyons maintenant ce qu’est une matrice triangulaire inférieure :
Soit , une matrice de
, on dit que
est une matrice triangulaire supérieure si
,
lorsque
, par exemple :
De manière analogue, une matrice triangulaire inférieure veut dire que tous les coefficients se trouvant au dessus de la diagonale sont nuls.
Quelques propriétés importantes et intéressantes :
- La transposée d’une matrice triangulaire inférieure est une matrice triangulaire supérieure, et vice versa.
Exemple :
Soit.
Alors, - Une matrice qui est à la fois une matrice triangulaire inférieure et supérieure, est appelée, matrice diagonale, et se définit de la manière suivante :
- Le produit de deux matrices triangulaire supérieures est une matrice triangulaire supérieure :
Soit,
Alors
Ceci est évidemment vrai également pour le produit de deux matrices triangulaires inférieures :
Soitet
,
Alors - Une matrice triangulaire A est inversible si et seulement si tous ses termes diagonaux sont non nuls. Dans ce cas, son inverse est aussi une matrice triangulaire (supérieure si A est supérieure, inférieure sinon). Prouvons cela :
Soit
Siest inversible, alors il existe une matrice
, tel que
.
Soit
Donc on pose :
On se retrouve avec le système suivant :
Or :
Par conséquent,