Vecteurs et opérations

Équation cartésienne de plan dans l’espace et vecteur normal à un plan :

Nous allons passer du plan à l’espace, il nous faut donc définir quelques nouvelles notions.
Comment faire pour passer du plan à l’espace en trois dimensions ? En fait, il nous faut définir tout d’abord deux vecteurs non nuls et non colinéaires dans ce plan. Nous allons voir que tout vecteur qui sera orthogonal à ces deux autres vecteur du plan formera l’espace et sera normal au plan.

Tout d’abord, nous allons définir ce qu’est un vecteur normal à un plan. Un vecteur normal à un plan signifie que ce vecteur est orthogonal à toute droite ou segment du plan. Par exemple :

Dans ce graphe, le vecteur $\vec{u}$ est normal au plan $\mathbf{R^{2}}$ ce qui veut dire que, quelque soit la droite ou le vecteur appartenant au plan, cette droite ou ce vecteurs seront orthogonaux au vecteur $\vec{u}$ . On pourra exprimer ceci autrement, et dire que tout vecteur directeur d’une droite perpendiculaire au plan P est un vecteur normal au plan.
Considérons un plan $P$ passant par un point $A$ et admettant comme vecteur normal, le vecteur $\vec{u}$ .
Considérons également un point $M$ quelconque dans le plan. Quel pourrait être le résultat du produit scalaire entre le vecteur normal $\vec{u}$ et le vecteur $\overrightarrow{AM}$ ?

On a dit qu’un vecteur normal à un plan était orthogonal à tout vecteur ou droite de ce plan, donc, le produit scalaire du vecteur $\vec{u}$ avec le vecteur $\overrightarrow{AM}$ est nécessairement nul. Ce que nous allons démontrer maintenant, c’est que ce que nous avons dit dans la phrase précédente, autrement dit que le fait que le produit scalaire entre le vecteur normal au plan et un autre vecteur soit une des conditions, démontrant que ce dernier est dans le plan.

Nous allons prendre un exemple, le même plan $P$ , le même vecteur normal à ce plan, le vecteur $\vec{u}$ , cette fois, on va considérer un point $B$ quelconque dans l’espace, et son projeté orthogonal sur le plan, le point $H$ , et bien sûr, le point $A$ dans le plan.

Nous voulons vérifier l’affirmation suivante :

$\vec{u}\cdot\overrightarrow{AB}=0$

Or, on sait que le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est la somme du vecteur $\overrightarrow{AH}$ et $\overrightarrow{HB}$ , donc, grâce à la relation de Chasles, on peut écrire :

$(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HB})\cdot\vec{u}=0$

Comme le produit de vecteurs est distributif, on a donc :

$\overrightarrow{AH}\cdot\vec{u}+\overrightarrow{HB}\cdot\vec{u}=0$

Il y a plusieurs solutions pour qu’un produit scalaire soit nul.
Soit un des vecteurs est nul, soit les deux, ou alors, l’angle entre ces deux vecteurs est nul ou d’angle $\frac{\pi}{2}$ .

Que savons nous cependant ? Nous savons que le vecteur $\overrightarrow{AH}$ est dans le plan, et donc forcément orthogonal à $\vec{u}$ . On se retrouve avec :

$\overrightarrow{HB}\cdot\vec{u}=0$

On sait que le vecteur normal est non nul, donc :

$\overrightarrow{HB}=0$

Si ce vecteur est nul, cela veut dire que ses points sont confondus, et que B appartient au plan, telle que :

$H=B$

Ceci est absurde, en effet, H est le projeté orthogonal de B, et ne peut donc pas être confondu, donc, qu’est-ce que cela veut dire ?
Cela veut dire que dès qu’un point appartient au plan, cela vérifie l’affirmation ci-dessus.
Pourquoi avoir voulu démontrer cette affirmation ? Car à présent, nous allons pouvoir trouver l’équation cartésienne qui détermine le plan dans l’espace.

Il nous faut nous placer dans un repère orthonormé. Prenons un vecteur normal $\vec{u}$ à ce plan, un point $A$ , un point $M$ et le vecteur $\overrightarrow{AM}$ :

$A=\begin{pmatrix}x_a\\y_a\\z_a\end{pmatrix}$ , $M=\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}$ , $\vec{u}\begin{pmatrix}a \\ b \\c\end{pmatrix}$

Donc, le vecteur $\overrightarrow{AM}$ :

$\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix}x-x_a \\ y-y_a \\ z-z_a\end{pmatrix}$

Si le point $M$ appartenait au plan, cela reviendrait à écrire :

$\overrightarrow{AM}\cdot\vec{u}=0$

On peut décomposer grâce au fait que nous soyons dans un repère orthonormé :

$\overrightarrow{AM}\cdot\vec{u}=a(x-x_a)+b(y-y_a)+c(z-z_a)=0$

On développe :

$\overrightarrow{AM}\cdot\vec{u}=ax+by+cz-ax_a-by_a-cy_a=0$

Mais, $ax_a$ , $by_a$ et $cz_a$ sont des constantes, donc, on va simplement les remplacer par $d$ :

$\overrightarrow{AM}\cdot\vec{u}=ax+by+cy+d=0$

Voici donc l’équation cartésienne du plan qui vérifie que le point $M$ appartient bien à ce dernier.
Les coordonnées $a$ , $b$ et $c$ , sont les coordonnées du vecteur normal au plan avec lequel nous avons travaillé.
En revanche, ce que l’on peut ajouter, c’est que l’équation cartésienne de ce plan n’est pas unique, en effet, le vecteur normal pourrait avoir des coordonnées différentes, par exemple, un vecteur normal ayant une norme plus grande, et étant colinéaire à notre vecteur normal, ou encore, un point A dans le plan également, mais ayant des coordonnées différentes.

On peut prendre un exemple. Soit $P$ un plan dans l’espace d’un plan orthonormé, soit $\vec{u}$ , un vecteur normal de ce plan, et $\overrightarrow{BC}$ , un vecteur du plan $P$ , telle que :

$\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} x-4\\y-2\\z-3\end{pmatrix}$ , $\vec{u}\begin{pmatrix} 7\\4\\1\end{pmatrix}$

Donc, en écrivant la formule, on a :

$7(x-4)+4(y-2)+(z-3)=0$

Donc :

$7x+4y+z-39=0$

Alors $d=-39$ .

A présent, ce que nous allons faire, c’est faire les choses dans l’autre sens, et déterminer un vecteur normal à un plan dans l’espace, grâce à l’équation cartésienne que nous connaissons, et en prenant trois points quelconque d’un plan que nous allons définir.

Donc, soit un plan orthonormé $P$ dans l’espace, et trois points $A$ , $B$ et $C$ de ce plan :

$A=\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}$ , $B=\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}$ , $C=\begin{pmatrix}2\\0\\-2\end{pmatrix}$

On peut donc créer les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ de ce plan et écrire le vecteur normal qu’on va appeler $\vec{n}$ :

$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -2\\1\\3\end{pmatrix}$ , $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 1\\-2\\0\end{pmatrix}$ , $\vec{n}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\\\gamma\end{pmatrix}$

On veut que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ soient orthogonaux au vecteur $\vec{u}$ , donc, on pose :

$\overrightarrow{AB}\cdot\vec{n}=0~et~\overrightarrow{AC}\cdot\vec{n}=0$

Si ces deux conditions sont satisfaites, alors nous avons déterminé un vecteur normal à notre plan.
*Remarque : Attention, il existe une infinité de vecteurs normaux au plan, notre but n’est pas de tous les trouver car c’est impossible, mais simplement d’en trouver un, qui satisfera nos conditions.

Donc, on a :

$\overrightarrow{AB}\cdot\vec{n}=-2\alpha+\beta+3\gamma=0$
Et
$\overrightarrow{AC}\cdot\vec{n}=\alpha-2\beta=0$

Qu’avons nous ici ? Nous avons un système d’équation à trois inconnues à résoudre (Si vous n’avez pas encore vu cette notion, veuillez consulter ce chapitre).

$\left\{\begin{array}{rcr}-2\alpha+\beta+3\gamma & = & 0 \\\alpha-2\beta & = & 0 \\\end{array}\right.$

Donc :

$\left\{\begin{array}{rcr}-2\alpha+\beta+3\gamma & = & 0 \\\alpha & = & 2\beta \\\end{array}\right.$

Alors :

$\left\{\begin{array}{rcr}\beta & = & \gamma \\\alpha & = & 2\beta \\\end{array}\right.$

Il suffit de fixer $\alpha=2$ , $\beta=1$ et $\gamma=1$

Nous avons donc le vecteur normal au plan $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}$

Méthodes de résolution du produit scalaire dans l’espace :

Nous avons vu ce qu’était un vecteur normal, l’équation cartésienne d’un plan, et le produit scalaire à travers la représentation d’un plan muni d’un repère orthonormé.

Nous avons vu que le produit scalaire dans un repère spatial orthonormé d’un vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ et d’un vecteur $\vec{v}\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}$ s’écrit :

$\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'+zz'$

Nous ne ferons pas la démonstration algébrique de cette écriture qui suit la même logique et la même méthode que ce que nous avons vu plus haut lors de la résolution analytique du produit scalaire dans le plan.

Il existe cependant d’autres méthodes pour calculer un produit scalaire dans l’espace, tout comme pour le produit scalaire dans le plan, il est possible, en fonction de la situation, de choisir la méthode la plus adaptée. Parmi ces méthodes, il y a :

La méthode de résolution avec l’angle entre les deux vecteurs.
La méthode de résolution avec les normes.
La méthode de résolution avec les projetés orthogonaux.
La méthode de résolution par décomposition des vecteurs.

La méthode de résolution avec l’angle entre deux vecteurs :

Imaginons que nous ayons un cube de ce type, et que nous voulions effectuer le produit scalaire du vecteur $\vec{u}$ et du vecteur $\vec{v}$ :

Nous sommes dans un cube, donc, il est tout à fait possible de reporter le vecteur $\vec{v}$ afin qu’il puisse appartenir au même plan que le vecteur $\vec{u}$ , et se servir ensuite de l’angle entre les deux vecteur pour effectuer le produit scalaire :

On effectue donc le produit scalaire en écrivant :

$\vec{u}\cdot\vec{v}=||\vec{u}||\cdot||\vec{v}||\cdot\cos(\theta)$

Méthode de résolution avec les normes (ou les longueurs) :

Il est également possible de s’en tenir au longueur des vecteurs, comme nous l’avons vu avec le théorème d’Al Kashi. Encore une fois, prenons un cube, et admettons que nous voulions effectuer le produit scalaire de ces deux vecteurs :

Le produit scalaire s’écrit :

$\overrightarrow{BE}\cdot\overrightarrow{BH}=\frac{1}{2}(BE^2+BH^2-EH^2)$

Méthode de résolution avec le projeté orthogonal :

On se rappelle également de cette méthode, qui consiste à prendre le projeté orthogonal d’un vecteur sur l’autre et d’effectuer le produit scalaire de ces derniers :

Alors, dans ce cas de figure, le produit scalaire s’écrit :

$\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AC}$
En effet, on voit bien que le projeté orthogonal de $\overrightarrow{AG}$ sur $\overrightarrow{AC}$ revient à faire le produit scalaire du vecteur $\overrightarrow{AC}$ avec lui même.

Méthode par décomposition des vecteurs :

La dernière méthode consiste à décomposer les vecteurs en d’autres vecteurs. Par exemple, si on prend ces deux vecteurs :

Difficile d’utiliser les méthodes connues pour calculer ce produit scalaire. Les vecteurs ne se projettent pas sur le même plan, on ne peut pas non plus utiliser le projeté orthogonal de l’un des vecteurs sur l’autre. Il serait possible d’utiliser la méthode des normes, mais nous allons voir qu’il existe une méthode plus simple.
En effet, chacun des deux vecteurs peut être décomposé en d’autres vecteurs, telle que :

$\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CG}$
$\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}$

Donc :

$\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{DF}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CG})\cdot(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF})$

En développant, on a :

$\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CG}\cdot\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{CG}\cdot\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CG}\cdot\overrightarrow{BF}$

C’est long, mais il faut se souvenir de quelques propriétés :

lorsque $\theta = \pi$ , alors $\cos(\pi)=-1$ et le produit scalaire $\vec{u}\cdot\vec{v}=-||\vec{u}||\cdot||\vec{v}||$ . Les deux vecteurs sont colinéaires mais de sens opposés.
lorsque $\theta = 0$ , alors $\cos(0)=1$ et le produit scalaire $\vec{u}\cdot\vec{v}=||\vec{u}||\cdot||\vec{v}||$ . Les deux vecteurs sont colinéaires et de même sens.
lorsque $\theta = \frac{\pi}{2}$ , alors $\cos(\frac{\pi}{2})=0$ , et donc le produit scalaire $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$ . Les deux vecteurs sont orthogonaux.

Nous sommes dans un cube, donc, parmi les vecteurs que nous avons, il y en a forcément qui sont orthogonaux et d’autres, colinéaires.
Voyons cela, en éliminant les vecteurs orthogonaux et en prenant en compte les vecteurs colinéaires de même sens et ceux de sens opposé, on simplifie, telle que :

$\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{CG}\cdot\overrightarrow{BF}$

En fait, on peut simplifier encore, et on se retrouve alors avec :

$\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{DF}=||\overrightarrow{AB}||^2+||\overrightarrow{CG}||^2-||\overrightarrow{BC}||^2$

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