Polynômes et équations de degrés n

Interpolation linéaire :

Nous allons maintenant aborder une notion assez simple mais très importante, l’interpolation linéaire.

A ce stade, nous considérons que vous avez vu les notions de pente, de dérivée, et de taux d’accroissement ainsi que d’équations de droites et de plans.

Alors déjà, qu’est-ce qu’une interpolation ? Une interpolation est par exemple, le fait de prendre un point $x_j$ du plan, qui se trouve entre deux autres points $x_i$ et $x_k$ dont on connait les ordonnées, et de déterminer la coordonnée de l’ordonnée de ce point (autrement dit $y_j$ ). Nous allons partir du principe que nous ne connaissons pas les paramètres de l’équation de la droite passant par A et C.

Schématisons ceci :

Dans notre exemple, les points A et C sont connus, car nous connaissons les valeurs des points $x_i , x_k , y_i , y_k$ . Nous voulons trouver la valeur de B, comment faisons nous ?

Tout d’abord, on sait que l’équation d’une droite s’écrit $y=ax+b$ .
Pour déterminer le point B, nous allons tracer la droite qui passe par A et par C :

A présent, nous allons calculer la pente de la droite entre ces deux points, on pose donc :

$\frac{dy}{dx}=\frac{y_k - y_i}{x_k-x_i}$

A présent, nous allons remplacer les indices k par les indices i, pourquoi ? La droite est une fonction affine, donc linéaire, ce qui veut dire que la pente est la même quelque soit le point que nous choisissons sur la droite, par conséquent :

$\frac{y_k - y_i}{x_k-x_i}=\frac{y_j - y_i}{x_j-x_i}$