Analyse combinatoire et dénombrement

Loi Binomiale :

La loi binomiale, ou loi de Bernoulli, décrit le comportement d’une expérience aléatoire qui possède deux résultats possibles : succès ou échec.

Un exemple, on effectue n répétitions identiques et indépendantes n’ayant que deux issues possibles et dont la probabilité de succès est notée p, avec 0 ≤ k ≤ n.

On lance un dés 4 fois d’affilé et on appelle X, la variable aléatoire égale au nombre de 6, c’est à dire, le nombre de fois pour chaque lancé ou le dés va tomber sur la face du 6.

Prenons P(X = 1), c’est à dire, essayons de calculer le nombre de fois, ou sur 4 lancés, nous tombons sur 6 une fois. Autrement dit, nous voulons que sur ces 4 lancés, au moins un 6 sorte, mais pas plus ! Comment allons nous procéder ?

Tout d’abord, on sait que sur un dés, il y a 1/6 de chances faire un 6. Combien y’a t-il de chances de ne pas faire un 6 ? Eh bien, le reste, c’est à dire 5/6. Donc, on peut commencer à écrire :

P(X = 1) = 1/6 × (5/6)³. Pourquoi (5/6)³ ? Car il y a 4 lancés, il ne faut pas oublier de les prendre en compte ! Ce n’est pas tout, nous oublions quelque chose, nous oublions qu’il n’y a pas qu’une seule manière d’obtenir un 6, il y en a 4. En effet, on pourrait obtenir un 6 au premier lancé, mais aussi au deuxième, ou au troisième, ou au quatrième, donc :

P(X = 1) = 4 × 1/6 × (5/6)³. 

De manière plus générale, voici comment on peut exprimer la loi binomiale:

Cette formule fait intervenir le coefficient binomial que nous avons vu plus haut. Expliquons les reste de la formule. Les k parmi n sont le nombre de chemins possibles de k éléments parmi n éléments. Par exemple, sur 4 lancés, combien y a t-il de façons différentes de faire un 6 ? 4 fois, car il y a 4 lancés. Ensuite, que représente p ? p représente la probabilité d’avoir le nombre recherché, en l’occurrence, 6 dans notre exemple. Le p élevé à la puissance k, défini le nombre de fois que nous voulons k. Dans l’exemple ci dessus, nous voulons k une fois, car P(X = 1) donc k = 1, mais si nous voulions k deux fois par exemple, ce ne serait plus 1/6, mais (1/6)².  Maintenant, pourquoi avons nous (1 – p) dans la parenthèse de la formule ? Qu’est ce que cela veut dire ? On sait que l’ensemble des probabilités de quelque chose est toujours égal à 1. Par exemple, si on a une urne avec une boule rouge et une boule noire à l’intérieur, on a 1/2 chance de tomber sur l’une ou sur l’autre, mais nous avons 100% de chances de tomber soit sur l’une, soit sur l’autre, donc 1/1 chance, donc 1. Si on applique cette idée dans notre exemple, p = 1/6, donc que vaut (1 – p) ? 1 – p = 1 – 1/6 = 5/6. Pourquoi élève t-on ceci à la puissance n – k ? Nous avons dit que nous faisions 4 lancés, et sur les 4 lancés, nous voulons faire 6 une fois, par conséquent, combien de fois ne voulons nous pas faire 6 ? 3 fois, et 3 fois, c’est n – k, car n = 4 et k = 1?

Blaise Pascal (1623 – 1662), célèbre mathématicien, physicien et philosophe du XVII ème siècle. A l’origine du triangle qui porte son nom, mais aussi des recherches et d’avancées en mécanique des fluides, telle que la découverte de la pression.